Strukturierung - Verfahren zum Lösen eines LGS

Ein LGS mit Äquivalenzumformungen in Stufenform bringen

Ziel ist es, ein beliebiges LGS in Rechteckform äquivalent in Stufenform umzuwandeln.

Start: LGS in Rechteckform:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& ...x_1& +& ...x_2& +& ...x_3& =& ...\\ [2]& ...x_1& +& ...x_2& +& ...x_3& =& ...\\ [3]& ...x_1& +& ...x_2& +& ...x_3& =& ...\end{array}$

Ziel: LGS in Stufenform:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& ...x_1& +& ...x_2& +& ...x_3& =& ...\\ [2]& 0x_1& +& ...x_2& +& ...x_3& =& ...\\ [3]& 0x_1& +& 0x_2& +& ...x_3& =& ...\end{array}$

oder eine Variante wie z.B.:

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& ...x_1& +& ...x_2& +& ...x_3& =& ...\\ [2]& 0x_1& +& ...x_2& +& ...x_3& =& ...\\ [3]& 0x_1& +& ...x_2& +& 0x_3& =& ...\end{array}$

Aufgabe 1

Welche der folgenden Umformungen sind Äquivalenzumformungen und können daher beim Umwandeln eines LGS benutzt werden?

• eine Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl ungleich 0 multiplizieren (Beispiel: $[1]\leftarrow [1]\cdot 2$)
• eine Gleichung mit der Zahl 0 multiplizieren (Beispiel: $[2]\leftarrow [2]\cdot 0$)
• eine Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren (Beispiel: $[2]\leftarrow [1]+[2]$)
• eine Gleichung von einer anderen subtrahieren (Beispiel: $[1]\leftarrow [2]-[1]$)
• eine Gleichung mit einer anderen multiplizieren (Beispiel: $[1]\leftarrow [2]\cdot [1]$)
• ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren (Beispiel: $[3]\leftarrow [2]\cdot 4+[3]$)
• ein Vielfaches (ungleich 0) einer Gleichung zu einem Vielfachen (ungleich 0) einer anderen Gleichung hinzuaddieren (Beispiel: $[3]\leftarrow [2]\cdot 4+[3]\cdot (-1)$)
• eine Gleichung mit einer anderen vertauschen(Beispiel: $[3]\leftrightarrow [2]$)

Aufgabe 2

Ergänze jeweils das entstehende LGS. Überprüfe mit dem LGS-Tool.

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 0\\ [2]& -x_1& +& x_2& +& 2x_3& =& -1\\ [3]& 2x_1& -& 2x_2& -& 3x_3& =& 4\end{array}$

$[2]\leftarrow [2]+[1]$

$\begin{array}{l}[1]\\ [2]\\ [3]\end{array}$

$[3]\leftarrow [3]+[1]\cdot (-2)$

$\begin{array}{l}[1]\\ [2]\\ [3]\end{array}$

$[3]\leftarrow [3]+[2]$

$\begin{array}{l}[1]\\ [2]\\ [3]\end{array}$

Aufgabe 3

Hier fehlen die Umformungsbeschreibungen. Ergänze sie analog zu Aufgabe 1. Überprüfe mit dem LGS-Tool.

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 0\\ [2]& -x_1& +& x_2& +& 2x_3& =& -1\\ [3]& 2x_1& -& 2x_2& -& 3x_3& =& 4\end{array}$

...

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 0\\ [2]& 3x_1& & & -& 5x_3& =& 2\\ [3]& 2x_1& -& 2x_2& -& 3x_3& =& 4\end{array}$

...

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 0\\ [2]& 3x_1& & & -& 5x_3& =& 2\\ [3]& 3x_1& & & -& 4x_3& =& 4\end{array}$

...

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& x_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 0\\ [2]& 3x_1& & & -& 5x_3& =& 2\\ [3]& & & & & x_3& =& 2\end{array}$

Aufgabe 4

Entwickle eine weitere Folge von Umformungen, die das vorgegebene LGS in Stufenform bringen. Überprüfe sie mit dem LGS-Tool. Dokumentiere die jeweigen Gleichungssysteme und die Umformungen.

Aufgabe 5

Beschreibe das Verfahren, das bei der Umwandlung eines LGS in Stufenform benutzt wird.

LGS-Tool