Wiederholung - Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Vorbemerkung

Die Lösungen einer linearen Gleichung bestimmen

Betrachte als Beispiel die folgende lineare Gleichung mit 2 Variablen:

$x_1 - 2x_2 = -4$

Aufgabe 1

(a) Zeige, dass die Gleichung $x_1 - 2x_2 = -4$ u.a. die folgenden Lösungen hat.

• $x_1 = -4; x_2 = 0$ bzw. $(x_1; x_2) = (-4; 0)$
• $x_1 = -2; x_2 = 1$ bzw. $(x_1; x_2) = (-2; 1)$

(b) Ergänze zu weiteren Lösungen der Gleichung:

• $(...; 2)$
• $(...; 3)$
• $(...; 4)$
• $(...; 0.5)$
• $(...; -1)$

(c) Begründe: Man erhält alle Lösungen der Gleichung, indem man für $x_2$ eine Zahl $t \in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1 = -4 + 2t$ berechnet. Kurz:

$(x_1; x_2) = (-4 + 2t; t)$ mit $ t \in \mathbb{R}$.

Die Lösungsmenge lässt sich dann so darstellen.

$L = \{(x_1; x_2) | x_1 = -4 + 2t; x_2 = t; t \in \mathbb{R}\}$.

Die Lösungen einer linearen Gleichung veranschaulichen

Betrachte weiterhin die folgende lineare Gleichung:

$x_1 - 2x_2 = -4$

Die Lösungen dieser Gleichung lassen sich in einem 2D-Koordinatensystem veranschaulichen.

Zum Herunterladen: lg2.ggb

Aufgabe 2

(a) Veranschauliche weitere Lösungen der Gleichung, indem du die Zahlenpaare im Eingabefeld eingibst.

(b) Warum liegen alle Lösungen auf einer Geraden? Benutze die folgenden Umformugen beim Erklären.

$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 + 2t \\ t \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)$

Aufgabe 3

Mit dem folgenden Applet kannst du unterschiedliche lineare Gleichungen einstellen und direkt beobachten, wie sich die eingestellten Werte auf die Lösungsmenge auswirken.

Zum Herunterladen: lg2vis.ggb

(a) Gib zunächst die Gleichung an, die im Applet voreingestellt ist.

(b) Wenn man die Parameter $a_1$, $a_2$ und $c$ variiert, ergibt sich jeweils eine neue Gleichung mit ihrer veranschaulichten Lösungsmenge. Probiere das selbst aus.

(c) Teste folgende Spezialfälle und erkläre, wie sich die jeweilige Vorgabe auf die Lösungsmenge der betreffenden Gleichung auswirkt.

• $c = 0$
• $a_1 = 0$
• $a_2 = 0$
• $a_1 = 0$ und $a_2 = 0$

Die Lösungsvielfalt eines linearen Gleichungssystems bestimmen

Im Applet kann man ein LGS mit 2 Gleichungen und 2 Variablen einstellen. Angezeigt werden mit den beiden Geraden die Lösungen der einzelnen Gleichungen.

Zum Herunterladen: lgs2.ggb

Aufgabe 4

(a) Gib das LGS an, das im Applet voreingestellt ist.

(b) Begründe, dass dieses LGS keine Lösungen hat.

(c) Variiere die Parameter so, dass das LGS genau eine Lösung hat.

(d) Teste, ob es auch Einstellungen gibt, in denen das LGS mehr als eine Lösung hat. Wie viele Lösungen liegen dann vor?

(e) Was ändert sich, wenn man ein LGS mit z.B. 3 Gleichungen und 2 Variablen untersucht? Wie viele Lösungen sind hier möglich? Begründe.