Ableitung von Potenzfunktionen

Ableitungsfunktionen zu den Potenzfunktionen bestimmen

Wir bearbeiten hier folgendes Problem.

Das Applet hilf dir, das Problem zu lösen.

Zum Herunterladen: potenzregel.ggb

Aufgabe 1

Betrachte zunächst den Fall $n=2$ (d.h. die Potenzfunktion $f(x)=x^2$). Im Abschnitt Herleitung von $f^{\prime }(x_0)$ hast du bereits die Formel für die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)$ bestimmt. Das Applet zeigt die Herleitung in verkürzter Form an. Erläutere, wie man ausgehend von der mittleren Änderungsrate $m(x,x+h)$ zur Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)=2x$ gelangt.

Aufgabe 2

Betrachte jetzt weitere Fälle (z.B. $n=3$, $n=4$, $n=5$ und $n=6$). Bestimme mit Hilfe des Applets die Formel für $f^{\prime }(x)$. Stelle dafür den Exponenten mit dem Schieberegler passend ein und betrachte die mittlere Änderungsrate; aus dieser kannst du die Ableitungsfunktion herleiten. Gib sie dann in das Eingabefeld ein und kontrolliere sie grafisch (es darf nur 1 blauer Graph zu sehen sein).

Aufgabe 3

Sammle alle Ergebnisse in der Tabelle. Gib auch eine allgemeine Formel für $f(x)=x^n$ an.

Potenzfunktion	zugehörige Ableitungsfunktion
$f(x)=x^2$	$f^{\prime }(x)=2x$
$f(x)=x^3$	$f^{\prime }(x)=...$
$f(x)=x^4$	$f^{\prime }(x)=...$
$f(x)=x^5$	$f^{\prime }(x)=...$
$f(x)=x^6$	$f^{\prime }(x)=...$
...	...
$f(x)=x^n$	$f^{\prime }(x)=...$
...	...
$f(x)=x^1=x$	$f^{\prime }(x)=1$
$f(x)=x^0=1$	$f^{\prime }(x)=0$

Aufgabe 4

In der Tabelle sind auch die Fälle $f(x)=x^1$ und $f(x)=x^0$ aufgelistet. Passen die bereits bekannten Ableitungen zur allgemeinen Formel? Begründe.