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Vertiefung - Zusammenhänge zwischen Graph und Ableitungsfunktion

Zielsetzung

In diesem Unterkapitel hast du gelernt, wie man aus einem Graphen durch Untersuchung von Steigungen den Graphen der Ableitungsfunktion bestimmen kann. Auf dieser Seite soll das etwas vertieft werden: Wir arbeiten Zusammenhänge zwischen dem Graphen einer Ausgangsfunktion $f$ und dem Graphen der Ableitungsfunktion $f^{'}$ heraus. In späteren Unterkapiteln werden diese Zusammenhänge systematisch behandelt.

Aufgabe 1

Das Applet zeigt oben drei Graphen von Ausgangsfunktionen; unten sind drei Graphen von Ableitungsfunktionen gegeben.

(a) Ordne jeder Ausgangsfunktion die passende Ableitungsfunktion zu. Begründe kurz mündlich, warum deine Zuordnung richtig ist. Dir kann dabei die intuitive Vorstellung helfen: Eine Ausgangsfunktion ist ein Höhenprofil; die Ableitungsfunktion ist das zugehörige Steigungsprofil.

(b) A. hat sich aufgeschrieben: „ $f_{3}^{'} (x) = g_{2} (x)$ “, er denkt also, dass $g_{2}$ die Ableitungsfunktion von $f_{3}$ ist. Schreibe ihm eine kurze Antwort und erkläre, was er falsch verstanden hat.

(c) B. meint, dass man hier die Graphen sehr schnell zuordnen kann: „ $f_{1}$ wächst, also ist die Ableitungsfunktion von $f_{1}$ immer ..., $f_{2}$ fällt, also muss die Ableitungsfunktion von $f_{2}$ immer ... sein. Und $f_{3}$ ist konstant, also ist die Ableitungsfunktion von $f_{3}$ überall ...“ Fülle die Lücken und erkläre, warum das stimmt.

Zum Herunterladen: ableitungsfunktion8.ggb

Aufgabe 2

Das Applet zeigt oben drei Graphen von Ausgangsfunktionen; unten sind drei Graphen von Ableitungsfunktionen gegeben.

(a) Ordne jeder Ausgangsfunktion die passende Ableitungsfunktion zu. Begründe kurz mündlich, warum deine Zuordnung richtig ist.

(b) C. betrachtet die Ausgangsfunktionen und sagt: „Man kann ja direkt erkennen, dass die Ableitung von allen drei Graphen für $x = 0$ und $x = 2$ null sein muss.“ Erkläre, woran er das erkennt.

(c) D. betrachtet nur $f_{1}$ und sagt: „Der Graph hat bei $x = 0$ einen Hochpunkt. Dabei gilt immer: Die Ableitung ist ein Stückchen links davon ... und rechts davon ...“ Fülle die beiden Lücken. Kontrolliere mit den Hochpunkten der anderen Graphen.

Betrachte das Vorzeichen der Ableitung, also ob die Ableitungsfunktion unterhalb oder oberhalb der $x$ -Achse verläuft.

(d) Formuliere eine ähnliche Aussage für Tiefpunkte (z.B. bei $x = 2$ im Graphen $f_{1}$ ).

Zum Herunterladen: ableitungsfunktion9.ggb

Aufgabe 3

Das Applet zeigt oben drei Graphen von Ausgangsfunktionen; unten sind drei Graphen von Ableitungsfunktionen gegeben.

(a) Ordne jeder Ausgangsfunktion die passende Ableitungsfunktion zu. Begründe kurz mündlich, warum deine Zuordnung richtig ist.

(b) E. betrachtet die Ausgangsfunktionen und sagt: „Einer der Graphen wächst beschleunigt, einer wächst gleichmäßig und einer wächst gebremst.“ Erkläre, was er damit meint. Welcher Graph ist hier welcher?

(c) Formuliere Aussagen der Form „Wenn ein Graph beschleunigt/gleichmäßig/gebremst wächst, dann ... die Ableitungsfunktion.“ Begründe deine Aussagen anschaulich mit der Bedeutung der Ableitung.

Jede dieser „Wachstumsarten“ gehört zu einem Verhalten der Ableitungsfunktion, das du im unteren Abschnitt des Applets erkennen kannst: Hier ist eine Ableitungsfunktion fallend ( $g_{1}$ ), eine ist konstant ( $g_{2}$ ) und eine ist wachsend ( $g_{3}$ ).

Zum Herunterladen: ableitungsfunktion10.ggb

Ausblick

Du hast auf dieser Seite festgestellt, dass die Ableitungsfunktion bestimmte Aussagen zum Aussehen des Graphen einer Ausgangsfunktion zulässt. In einem späteren Kapitel werden wir uns intensiv mit Funktionsuntersuchungen beschäftigen: Dabei werden wir genau solche Zusammenhänge verwenden und damit rechnerisch z.B. Hochpunkte von Graphen finden.

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