Zusammenfassung - Ableitungsregeln
Die Grundidee
Die Ableitungsfunktion zu einer Ausgangsfunktion kann man mit Hilfe der Definition der Ableitung bestimmen. Hier noch einmal eine Kurzübersicht zu diesem Prozess für die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
$\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} = 2x + h\\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x) & = & 2x \end{array}$
Mit Ableitungsregeln geht das viel schneller. Man muss nur die für die gegebene Funktion passenden Regeln kennen.
$\begin{array}{cl} f(x) = x^2 & \text{Ausgangsfunktion} \\ \downarrow & \text{Ableitungsregeln} \\ f'(x) = 2x & \text{Ableitungsfunktion} \end{array}$
Die Potenzregel
Die Potenzregel beschreibt, wie man die Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion direkt bestimmen kann.
Potenzregel:
Wenn $f(x) = x^n$, dann gilt $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ (für alle natürlichen Zahlen $n$).
Wenn $f(x) = x^r$, dann gilt $f'(x) = r \cdot x^{r-1}$ (für alle reellen Zahlen $r$).
Beispiele:
| Potenzfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^0 = 1$ | $f'(x) = 0x^{-1} = 0$ |
| $f(x) = x^1 = x$ | $f'(x) = 1x^0 = 1$ |
| $f(x) = x^2$ | $f'(x) = 2x^1 = 2x$ |
| $f(x) = x^3$ | $f'(x) = 3x^2$ |
| $f(x) = x^4$ | $f'(x) = 4x^3$ |
| ... | ... |
| $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$ | $f'(x) = (-1)x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ |
| ... | ... |
| $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ | $f'(x) = 1/2\cdot x^{-1/2} = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$ |
Video - Die Potenzregel
Die Summenregel
Die Summenregel beschreibt, wie man Funktionen ableitet, die als Summe von zwei Funktionen dargestellt werden können.
Summenregel:
Wenn $f(x) = u(x) + v(x)$, dann gilt $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
Beispiele:
| Ausgangsfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^4 + x^2$ | $f'(x) = 4x^3 + 2x$ |
| $f(x) = x^6 + x^5$ | $f'(x) = 6x^5 + 5x^4$ |
| $f(x) = x^2 + 1$ | $f'(x) = 2x + 0 = 2x$ |
| $f(x) = x - 3 = x + (-3)$ | $f'(x) = 1 - 0 = 1$ |
Video - Die Summenregel
Die Faktorregel
Die Faktorregel beschreibt, wie man Funktionen ableitet, die als Vielfaches einer anderen Funktion dargestellt werden können.
Faktorregel:
Wenn $f(x) = c \cdot u(x)$, dann gilt $f'(x) = c \cdot u'(x)$.
Beispiele:
| Ausgangsfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = 2\cdot x^4$ | $f'(x) = 2\cdot 4 \cdot x^3 = 8x^3$ |
| $f(x) = 0.5 x^3$ | $f'(x) = 1.5 x^2$ |
| $f(x) = -2x^6$ | $f'(x) = -12x^5$ |
| $f(x) = -x^5$ | $f'(x) = -5x^4$ |
Video - Die Faktorregel
Ableitung ganzrationaler Funktionen
Die bisher vorgestellten Regeln kann man beliebig kombinieren. Mit ihnen lassen sich insbesondere die ganzrationalen Funktionen ableiten.
Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die man als Summe aus mit Vorfaktoren versehenen Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten darstellen kann.
Beispiele:
| ganzrationale Funktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = 2 \cdot x^4 + (-1) \cdot x^3 + 2 \cdot x^0 = 2x^4 - x^3 + 2$ | $f'(x) = 8x^3 - 3x^2$ |
| $f(x) = 0.5 x^3 - x$ | $f'(x) = 1.5 x^2 - 1$ |
| $f(x) = -2x^6 + 3x^4 + x^2$ | $f'(x) = -12x^5 + 12x^3 + 2x$ |
| $f(x) = -x^5 - x^4 - 1$ | $f'(x) = -5x^4 - 4x^3$ |
Den höchsten Exponent der vorkommenden Potenzfunktionen einer ganzrationalen Funktionen nennt man auch Grad der ganzrationalen Funktion. Es gilt folgender Zusammenhang.
Wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n-1$.
