o-mathe | Bestimmung von Ableitungsfunktionen

Herleitung der Potenzregel

In den vorangehenden Abschnitten hast du die Potenzregel kennengelernt.

Potenzregel:

Wenn $f (x) = x^{n}$ , dann gilt $f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$ (für alle natürlichen Zahlen $n$ ).

Hier geht es darum, diese Regel zu begründen. Das Applet hilft dir, die wesentlichen Ideen herauszufinden.

Wir betrachten als typischen Fall die Potenzfunktion $f$ mit $f (x) = x^{5}$ . Kläre folgende Fragen.

Betrachte den vereinfachten Term zu $f (x + h)$ . Welche Teilterme enthalten ein $h$ - mit welchen Exponenten? Welcher Teilterm enthält kein $h$ ?
Wie entsteht der Teilterm $5 h x^{4}$ , wenn man $(x + h)^{5} = (x + h) (x + h) (x + h) (x + h) (x + h)$ ausmultipliziert?
Betrachte den vereinfachten Term zu $f (x + h) - f (x)$ . Welcher Teilterm fällt weg? Welche verbleibenden Teilterme enthalten ein $h$ - mit welchen Exponenten?
Betrachte den vereinfachten Term zu $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ . Welche Teilterme enthalten ein $h$ ? Welcher Teilterm enthält kein $h$ ?
Welche Teilterme liefern bei der Grenzwertbildung $h \to 0$ den Wert $0$ (und fallen somit beim Ergebnis weg)?.

Vergewissere dich, dass man für andere $n$ -Werte analog schließen kann.