Vertiefung
Zur Orientierung
In den letzten Abschnitten hast du ein Verfahren entwickelt, mit dem man den Inhalt eines von zwei Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächenstücks mit Hilfe von Integralen berechnen kann. In diesem Abschnitt geht es darum, die Formeln zur Flächenberechnung weiter zu optimieren.
Eine alternative Formel zur Flächenberechnung – der einfache Fall
Ziel ist es, eine alternative Formel für den Flächenhalt eines von zwei Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächenstücks herzuleiten. Wir betrachten zunächst wieder den Fall, dass beide Funktionsgraphen im betrachteten Intervall nicht unterhalb der $x$-Achse verlaufen. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg4.ggb
Aufgabe 1
Hier sind die beiden Randfunktionen $f$ und $g$ dargestellt, sowie eine Funktion $h = f - g$. Man nennt $h$ die Differenzfunktion von $f$ und $g$.
(a) Beschreibe die Bedeutung der Differenzfunktion. Nutze dafür die verschiebbare Stelle $x$. Begründe, dass $h$ an den Schnittstellen von $a$ und $b$ den Funktionswert $0$ aufweist.
(b) Mit den beiden unteren Kontrollkästchen lassen sich zwei Flächen einblenden. Beschreibe und begründe den Zusammenhang zwischen den beiden Flächen.
Aufgabe 2
Die Überlegungen aus Aufgabe 1 zeigen, dass man den Flächeninhalt eines Flächenstücks zwischen zwei Funktionsgraphen alternativ bestimmen kann, indem man das Integral zur Differenz der betrachteten Funktionen bildet:
Wenn $f(x) \ge g(x)$ für $a \le x \le b$, dann gilt für den Inhalt des Flächenstücks zwischen $f$ und $g$ im Intervall $a \le x \le b$:
$A = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) dx = \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx $
(a) Beschreibe den Ablauf, wie man mit der Differenzfunktion den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen bestimmen kann.
(b) Verdeutliche anhand der Funktionen $f(x) = - x^2 + 7$ und $g(x) = 2 x^2 + 4$, dass die Verwendung der Differenzfunktion den Rechenaufwand reduzieren kann.
Eine alternative Formel zur Flächenberechnung – der allgemeine Fall
Im einfachen Fall wurden Flächenstücke oberhalb der $x$-Achse betrachtet. Bei Flächen, die unterhalb der $x$-Achse liegen oder teilweise oberhalb und teilweise unterhalb mussten wir auf der vorangehenden Seite recht kompliziert mit den Vorzeichen der orientierten Flächeninhalte argumentieren. Die neue Berechnungsformel vereinfacht jetzt die Überlegungen. Betrachte hierzu das folgende Applet und bearbeite die Aufgabe unter dem Applet.
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Aufgabe 3
Mit dem Schieberegler $c$ kann man die beiden Funktionsgraphen nach oben und unten verschieben. Diese verschobenen Funktionsgraphen gehören zu den Funktionen $f_c(x) = f(x)+c$ und $g_c(x) = g(x) + c$.
(a) Verdeutliche anhand des Applets, was sich beim Verschieben der Funktionsgraphen verändert und was sich nicht verändert.
(b) Begründe, dass man die Formel $A = \int\limits_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$ unabhängig von der Lage des von den beiden Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächenstücks verwenden kann.
(c) Betrachte die Funktionen $f(x) = - x^2 + 2$ und $g(x) = 2 x^2 - 1$ (zum Schiebereglereinstellung $c = 0$). Vergleiche die Flächenberechnung zum eingeschlossenen Flächenstücks mit der zu den Funktionen in Aufgabe 2b (zur Schiebereglereinstellung $c = 5$).
