Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel ist es weiterhin, den Inhalt eines Flächenstücks zu berechnen, das von zwei Funktionsgraphen eingeschlossen wird. Im letzten Abschnitt hast du einen einfachen Basisfall betrachtet. Hier geht es darum, das Verfahren auf weitere Fälle zu übertragen.
Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen – der allgemeine Fall
Betrachte jetzt Situationen, bei denen das Flächenstück auch (teilweise) unterhalb der $x$-Achse liegt.
Aufgabe 1
(a) Betrachte die Situation in der folgenden Übersicht. Begründe die Formel in der unteren Zeile.
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Situation: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $a$ und $b$ mit $a \lt b$. Graph $f$ verläuft im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$. Beide Graphen verlaufen dabei unterhalb der $x$-Achse. Problem: Gesucht ist der Inhalt $A$ des Flächenstücks, das von Graph $f$ und Graph $g$ eingeschlossen ist. |
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| $A$ | $=$ | $\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$ | $-$ | $\int\limits_{a}^{b} g(x) \; dx$ |
(b) Betrachte die Situation in der folgenden Übersicht. Begründe die Formel in der unteren Zeile.
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Situation: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $a$ und $b$ mit $a \lt b$. Graph $f$ verläuft im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$. Problem: Gesucht ist der Inhalt $A$ des Flächenstücks, das von Graph $f$ und Graph $g$ eingeschlossen ist. |
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| $A$ | $=$ | $\int\limits_{a}^{b} f(x) \; dx$ | $-$ | $\int\limits_{a}^{b} g(x) \; dx$ |
(c) Für die Funktionen in Teilaufgabe (b) gilt $f(x) = - x^2 + 2$ und $g(x) = 2 x^2 -1$. Berechne den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen. Kontrolliere, ob der Wert mit dem Ergebnis aus dem letzten Abschnitt übereinstimmt.
Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen – mehrere Flächenteile
Betrachte jetzt Situationen, bei denen das Flächenstück zwischen den Funktionsgraphen aus mehreren Teilstücken besteht.
Aufgabe 2
(a) Betrachte die Situation in der folgenden Übersicht. Erläutere, wie du in dieser Situation bei der Flächenberechnung vorgehst. Ergänze in der unteren Zeile die Integrale, die man zur Flächenberechnung verwendet..
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Situation: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an den Stellen $a$, $b$ und $c$ mit $a \lt b \lt c$. Graph $f$ verläuft im Intervall $a \lt x \lt b$ oberhalb von Graph $g$. Graph $f$ verläuft im Intervall $b \lt x \lt c$ unterhalb von Graph $g$. Problem: Gesucht ist der Inhalt $A$ des Flächenstücks, das von Graph $f$ und Graph $g$ eingeschlossen ist. |
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| $A$ | $=$ | |||
(b) Für die Funktionen in der Übersicht gilt $f(x) = \frac{1}{4} x^3 - \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$ und $g(x) = \frac{1}{4}x$. Zeige, dass die beiden Funktionen sich an den Stellen $a = -3$, $b = 1$ und $c = 2$ schneiden. Berechne den Inhalt $A$ der Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen.
