Lösungen zu Übungen – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Grundaufgaben
Aufgabe 1
In der Tabelle werden in der Spalte "Veranschaulichung" verschiedene Flächenstücke gezeigt, die (teilweise) von Funktionsgraphen umrandet werden. Berechne jeweils den Flächeninhalt der Flächenstücke.
Unterhalb der Tabelle mit den Aufgaben findest du ein Gleichungstool, mit dem du ggf. Gleichungen lösen kannst. Damit kannst du z.B. Nullstellen oder Schnittstellen bestimmen. Außerdem findest du einen Integralrechner, mit dem du deine Integralberechnungen kontrollieren kannst.
| Daten | Veranschaulichung | |
|---|---|---|
| (a) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = 4$ |
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| (b) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = 2x$ |
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| (c) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = (x-1)^2 + 1$ $h(x) = (x+1)^2 + 1$ |
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| (d) |
$f(x) = - \frac{1}{2}x^2 + 2x$ $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ |
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| (e) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = 2(x-1) + 1$ $h(x) = -2(x+1) + 1$ |
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| (f) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = -2(x-1) + 1$ $h(x) = 2(x+1) + 1$ |
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| Daten | Veranschaulichung | |
|---|---|---|
| (a) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = 4$ Schnittstellen von $f$ und $g$: $-2$; $2$ $A = \int\limits_{-2}^{2} [g(x) - f(x)] \;dx = \frac{32}{3} \approx 10.67$ |
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| (b) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = 2x$ Schnittstellen von $f$ und $g$: $0$; $2$ $A = \int\limits_{0}^{2} [g(x) - f(x)] \;dx = \frac{4}{3} \approx 1.33$ |
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| (c) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = (x-1)^2 + 1$ $h(x) = (x+1)^2 + 1$ Schnittstellen von $f$ und $g$: $0$; $1$ $A = 2 \cdot \int\limits_{0}^{1} [g(x) - f(x)] \;dx = 2 \cdot 1 = 2$ Das Ergebnis $A = 2$ erhält man auch, wenn man Flächenstücke geeignet verschiebt. |
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| (d) |
$f(x) = - \frac{1}{2}x^2 + 2x$ $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ Schnittstellen von $f$ und $g$: $0$; $2$; $3.5$ $\begin{array}{lcl} A & = & \int\limits_{0}^{2} [g(x) - f(x)] \;dx + \int\limits_{2}^{3.5} [f(x) - g(x)] \;dx \\ & = & \frac{10}{3} + \frac{99}{64} \\ & \approx & 4.88 \\ \end{array}$ |
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| (e) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = 2(x-1) + 1$ $h(x) = -2(x+1) + 1$ Schnittstellen von $f$ und $g$: $1$ $A = 2 \cdot \int\limits_{0}^{1} [f(x) - g(x)] \;dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$ |
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| (f) |
$f(x) = x^2$ $g(x) = -2(x-1) + 1$ $h(x) = 2(x+1) + 1$ Schnittstellen von $f$ und $g$: $-3$; $1$ $A = 2 \cdot \int\limits_{0}^{1} [g(x) - f(x)] \;dx = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$ |
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Vertiefende Aufgaben
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = x^2$. Der Graph der Funktion wird von einer Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $B$ geschnitten. Die $x$-Koordinate von $A$ kann man mit dem Schieberegler $a$ einstellen. Die $x$-Koordinate von $B$ beträgt jeweils $b = a+2$. Die beiden Punkte $A$ und $B$ haben also den horizontalen Abstand $2$. Zeige (exemplarisch für drei verschiedene $a$-Werte oder ganz allgemein), dass der Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks, das die beiden Funktionsgraphen umschließen, immer gleich ist – egal, wie man $a$ einstellt.
Zum Herunterladen: parabelundgerade.ggb
$A$ hat die Koordinaten $A(a|a^2)$, $B$ hat die Kordinaten $B(a+2|(a+2)^2)$.
Die Gerade durch $A$ und $B$ hat dann die Steigung $m = \frac{(a+2)^2-a^2}{2} = 2a+2$.
Die Gerade durch $A$ und $B$ lässt sich dann mit der Funktionsgleichung $g(x) = (2a+2)\cdot (x-a)+a^2 = (2a+2)x + (-a^2-2a)$ beschreiben.
Die Gerade $g$ verläuft oberhalb von Graph $f$. Die Fläche des Flächenstücks zwischen den beiden Funktionsgraphen lässt sich dann so bestimmen: $A = \int\limits_{a}^{a+2} [g(x) - f(x)] \;dx$.
Für $g(x) - f(x) = -x^2 + 2(a+1)x - a(a+2)$ erhält man die Stammfunktion $ -\frac{1}{3}x^3 + (a+1)x^2 -a(a+2)x$.
Also: $A = \int\limits_{a}^{a+2} [g(x) - f(x)] \;dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + (a+1)x^2 -a(a+2)x \right]_a^{a+2} = \dots = \frac{4}{3}$
