Berechnungen
Die Füllmenge berechnen
Wir betrachten weiterhin ein Zufluss-Abfluss-System, bei dem man den Zu- und Abfluss regeln kann. Für die folgenden Überlegungen ist es günstig, wenn du dir unter dem Zufluss-Abfluss-System einen Wasserbehälter vorstellst, in den Wasser rein- und wieder rausfließen kann.
In den folgenden Aufgaben geht es darum, aus der Zuflussrate die Füllmenge zu berechnen.
Gegeben ist die Zuflussrate $z(t)$, die den momentanen Zu- und Abfluss zum Wasserbehälter (in der Einheit Liter pro Minute) beschreibt.
Gesucht ist die gesamte Füllmenge $V(t)$ des Wasserbehälters im Zeitintervall von $0$ bis $t$ (in der Einheit Minuten). Wir gehen davon aus, dass der Behälter zur Zeit $t = 0$ leer ist.
Aufgabe 1
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System. Die (gegebene) Zuflussrate ist unten dargestellt. Der (gesuchte) Verlauf der Füllmenge soll oben skizziert werden.
Zum Herunterladen: zasystem1.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang, z.B. so: „Im Zeitintervall $0$ bis $4$ beträgt die Zuflussrate konstant $40$ [l/min]. Pro Minute steigt die Füllmenge also um ...“.
(b) Bestimme für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die jeweilige Füllmenge $V(t)$ und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt. Für $t = 1$ muss du also einen der vorgegebenen Punkte an die Position $(1|40)$ verschieben. Wenn du alle Füllmengen bestimmt und die Punkte hierzu passend gesetzt hast, dann kannst du deine Ergebnisse mit der [Kontrolle] überprüfen.
(c) Aktiviere das Kontrollkästchen [Flächen] im unteren Fenster. Den Zeitpunkt $t$ auf der $t$-Achse kannst du variieren. Stelle Zusammenhänge zwischen den berechneten Füllmengen und den markierten Flächen her.
Aufgabe 2
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System.
Zum Herunterladen: zasystem2.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang.
(b) Bestimme für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ die jeweilige Füllmenge $V(t)$ und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt. Wenn du alle Füllmengen bestimmt und die Punkte hierzu passend gesetzt hast, dann kannst du deine Ergebnisse mit der [Kontrolle] überprüfen.
(c) Aktiviere das Kontrollkästchen [Flächen] im unteren Fenster. Den Zeitpunkt $t$ auf der $t$-Achse kannst du variieren. Stelle Zusammenhänge zwischen den berechneten Füllmengen und den markierten Flächen her. Achte auf die Besonderheit, dass die Zuflussrate $z(t)$ hier negative Werte annimmt.
Aufgabe 3
Betrachte das im Applet beschriebene Zufluss-Abfluss-System.
Zum Herunterladen: zasystem3.ggb
(a) Beschreibe den Zufluss-Abfluss-Vorgang. Worin unterscheidet sich das vorliegende Zufluss-Abfluss-System von denen in Aufgabe 1 und Aufgabe 2?
(b) Stelle Vermutungen über die Füllmenge $V(t)$ für die Zeitpunkte $t = 1, ..., 10$ auf und markiere sie im oberen Koordinatensystem jeweils mit einem Punkt. Wenn du alle Füllmengen bestimmt und die Punkte hierzu passend gesetzt hast, dann kannst du deine Ergebnisse mit der [Kontrolle] überprüfen.
(c) Aktiviere das Kontrollkästchen [Flächen] im unteren Fenster. Den Zeitpunkt $t$ auf der $t$-Achse kannst du variieren. Stelle auch hier Zusammenhänge zwischen den berechneten Füllmengen und den markierten Flächen her.
