Die Integralschreibweise

Grenzwerte von Produktsummen bilden

Für das Integral einer Funktion $f$ über einem Intervall $a \leq x \leq b$ benutzt man eine besondere Schreibweise, die wir hier erklären.

Zum Herunterladen: unterobersumme5.ggb

Bei der Bestimmung eines Integrals geht man so vor:

1. Das Intervall $a \leq x \leq b$ wird in $n$ gleich lange Teilintervalle unterteilt. Die Stufenbreite beträgt dann $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
2. Für die Untersumme werden die Teilintervallstellen $\underline{x_1}$, ..., $\underline{x_n}$ bestimmt, an denen die Funktionswerte in diesen Teilintervallen am kleinsten sind. Für die Obersumme werden die Teilintervallstellen $\overline{x_1}$, ..., $\overline{x_n}$ bestimmt, an denen die Funktionswerte in diesen Teilintervallen am größten sind.
3. Für die Untersumme gilt dann:
   $U_n = \underbrace{f(\underline{x_1})}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}} + ... + \underbrace{f(\underline{x_n})}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}}$
4. Für die Obersumme gilt dann:
   $O_n = \underbrace{f(\overline{x_1})}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}} + ... + \underbrace{f(\overline{x_n})}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}}$
5. Man bildet die Grenzwerte von $U_n$ und $O_n$ für $n \rightarrow \infty$. Wenn sie gleich sind, dann liefern sie das Integral $I_a(b)$.

Das Integral ist demnach der Grenzwert von Summen der Gestalt $\underbrace{f(x)}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}}$. Man nutzt das Zeichen $\int$ für (S)ummen sowie $dx$ für $\Delta x$ und schreibt dann:

$I_a(b) = \int\limits_a^b f(x) dx$

Hier noch einmal eine Gesamtübersicht über das Integral als Grenzwert von Produktsummen.

$\begin{array}{lll} O_n & = & f(\overline{x_1})\Delta x + ... + f(\overline{x_n})\Delta x \\ & \downarrow & n \rightarrow \infty \\ I_a(b) & = & \int\limits_a^b f(x) dx \\ & \uparrow & n \rightarrow \infty \\ U_n & = & f(\underline{x_1})\Delta x + ... + f(\underline{x_n})\Delta x \end{array}$