Zusammenfassung - Integral und orientierte Flächeninhalte
Integrale geometrisch deuten
Orientierte Flächeninhalte berücksichtigen die Lage von Flächenstücken bzgl. der $x$-Achse.
Den orientierten Flächeninhalt einer Funktion $f$ im Intervall $a \leq x \leq b$ von $a$ bis $b$ (in dem die Funktion definiert ist) erhält man, indem man die Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$ in "orientierter Form" aufsummiert. Die Flächeninhalte von Flächenstücken oberhalb der $x$-Achse werden dabei positiv, die Flächeninhalte von Flächenstücken unterhalb der $x$-Achse negativ gewertet.
Integrale lassen sich als orientierte Flächeninhalte deuten.
Wenn die Funktion $f$ im Intervall $a \leq x \leq b$ definiert ist, dann entspricht das Integral $I_a(b) = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$ geometrisch dem orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $a$ bis $b$.
Zum Herunterladen: orientierteflaecheninhalte3b.ggb
Betrachte als Beispiel die Situation im Applet.
Der Graph der im Applet vorgegebenen Funktion $f$ verläuft im Intervall $-1 \text{ < } x \text{ < } 0$ im positiven Bereich, im Intervall $0 \text{ < } x \text{ < } 2$ im negativen Bereich und im Intervall $2 \text{ < } x \text{ < } 3$ im positiven Bereich.
Das Integral $I_{-1}(3) = \int\limits_{-1}^{3} f(x) dx$ entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse von $-1$ bis $3$. Dabei werden die Flächeninhalte der Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse negativ gewertet (im Beispiel: $-2$) und die Flächeninhalte der Flächenstücke oberhalb der $x$-Achse positiv (im Beispiel: $0.875$ und $3.125$). Insgesamt hat das Integral im Beispiel den Wert $0.875 - 2 + 3.125 = 2$.
$I_{-1}(3) = \int\limits_{-1}^{3} f(x) dx = 0.875 - 2 + 3.125 = 2$
