Eigenschaften des Integrals
Eigenschaften des Integrals begründen
Nutze im Folgenden die geometrische Deutung des Integrals als orientierter Flächeninhalt.
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Aufgabe 1
Wir setzen im Folgenden jeweils voraus, dass die Funktion $f$ im betrachteten Intervall definiert ist. Finde heraus, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils anhand geeigneter Beispiele.
(A) $\int\limits_{a}^{a} f(x) dx = 0$
(B) Wenn $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = 0$, dann gilt $a = b$.
(C) $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx + \int\limits_{b}^{c} f(x) dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) dx$
(D) $\int\limits_{a}^{b} (-f(x)) dx = - \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$
(E) Wenn Graph $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse verläuft, dann gilt $\int\limits_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int\limits_{0}^{a} f(x) dx$.
(F) Wenn Graph $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, dann gilt $\int\limits_{-a}^{a} f(x) dx = 0$.
(G) Wenn $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx > 0$, dann verläuft Graph $f$ im gesamten Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb der $x$-Achse.