Beispiel - Integrale näherungsweise bestimmen
Die Ausgangssituation klären
Wir betrachten die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$. Ziel ist es, Integrale zu dieser Funktion zu verschiedenen Intervallen zu bestimmen.
Zum Herunterladen: unterobersumme3.ggb
Unter- und Obersummen selbst berechnen
Aufgabe 1
Wir betrachten das Intervall $0 \leq x \leq 3$ und unterteilen es in $n = 6$ Teile.
Ergänze die Angaben und Berechnungen. Kontrolliere die Ergebnisse mit dem Applet.
(a) Untersumme $U_6$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe mal Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $0.0 .. 0.5$ | $f(0) = 0$ | $0.5$ | $0 \cdot 0.5 = 0$ |
| $0.5 .. 1.0$ | $f(0.5) = 0.5^2 = 0.25$ | 0.25 | 0.25 \cdot 0.5 = ... |
| $1.0 .. 1.5$ | ... | ... | ... |
| $1.5 .. 2.0$ | ... | ... | ... |
| $2.0 .. 2.5$ | ... | ... | ... |
| $2.5 .. 3.0$ | ... | ... | ... |
Ergebnis: $U_6 = 0 + ... = ...$
(b) Obersumme $O_6$:
| Teilintervall | Stufenhöhe | Stufenbreite | Stufenhöhe*Stufenbreite |
|---|---|---|---|
| $0.0 .. 0.5$ | $f(0.5) = 0.25$ | $0.5$ | $0.25 \cdot 0.5 = 0.125$ |
| $0.5 .. 1.0$ | $f(1) = ...$ | ... | ... |
| $1.0 .. 1.5$ | ... | ... | ... |
| $1.5 .. 2.0$ | ... | ... | ... |
| $2.0 .. 2.5$ | ... | ... | ... |
| $2.5 .. 3.0$ | ... | ... | ... |
Ergebnis: $O_6 = 0.125 + ... = ...$
(c) Aus der Untersumme $U_6$ und der Obersumme $O_6$ erhält man eine erste Abschätzung von $I_0(3)$. Ergänze die ermittelten Zahlenwerte.
$... \leq I_0(3) \leq ...$
(d) Ermittle eine bessere Abschätzung von $I_0(3)$. Nutze das Applet mit der Einstellung $n = 12$.
$... \leq I_0(3) \leq ...$
Aufgabe 2
Wir betrachten das Intervall $0 \leq x \leq 1$.
(a) Ermittle mit dem Applet Abschätzungen für $I_0(1)$. Betrachte hierzu die Unterteilungen $n = 10$, $n = 100$ und $n = 1000$. Gib die Abschätzungen jeweils in der Form $U_n \leq I_0(1) \leq O_n$ an.
(b) Stelle mit Hilfe der Ergebnisse aus (a) eine Vermutung über den genauen Zahlenwert von $I_0(1)$ auf.
Eine allgemeine Formel
Es ist recht mühsam, immer das Applet zu verwenden, um Integralwerte zu bestimmen. Es wäre schön, wenn es eine allgemeine Formel gäbe. In der folgenden Aufgabe sollst du eine Vermutung für so eine Formel entwickeln.
Aufgabe 3
Nutze das Applet, um $I_0(b)$ für verschiedene $b$-Werte (ungefähr) zu bestimmen. Nutze die Ergebnisse, um eine Vermutung für eine Formel für $I_0(b)$ aufzustellen.
$I_0(b) = ...$
