Zusammenfassung - Das Integral als Grenzwert von Produktsummen
Grenzwerte von Produktsummen bilden
Wir betrachten folgende Situation: Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$, das in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt.
Zum Herunterladen: unterobersumme5.ggb
- In dem Intervall $a \leq x \leq b$ wird die Funktion $f$ mit Treppenfunktionen angenähert. Hierzu wird das Intervall $a \leq x \leq b$ in $n$ Teile zerlegt.
- Die untere Treppenfunktion ist so festgelegt, dass die "Treppenhöhe" jeweils dem kleinsten Funktionswert von $f$ im betreffenden Teilintervall entspricht. Die obere Treppenfunktion ist so festgelegt, dass die "Treppenhöhe" jeweils dem größten Funktionswert von $f$ im betreffenden Teilintervall entspricht.
- Zu den beiden Treppenfunktion werden die Produktsummen gebildet. Hierzu werden alle zum Intervall gehörenden Terme der Gestalt "Stufenhöhe mal Stufenbreite" aufaddiert. Beachte, dass die Stufenhöhe auch eine negative Zahl sein kann.
- Die Produktsumme zur unteren Treppenfigur liefert die Untersumme $U_n$, die Produktsumme zur oberen Treppenfigur die Obersumme $O_n$.
- Unter- und Obersumme lassen sich als orientierte Flächeninhalte zu den entsprechenden Treppenfiguren (passend zu den Treppenfunktion) deuten. Beachte, dass dabei Flächeninhalte unterhalb der $x$-Achse negativ gezählt werden.
Mit dem Integralbegriff beschreibt man den Grenzwert von Unter- und Obersummen.
Gegeben ist eine Funktion $f$ und ein Intervall $a \leq x \leq b$ (das ganz in der Definitionsmenge der Funktion $f$ liegt). Wenn sich die zugehörigen Untersummen $U_n$ und die Obersummen $O_n$ für $n \rightarrow \infty$ immer mehr einem gemeinsamen Grenzwert $I_a(b)$ annähern, dann nennt man diesen Grenzwert Integral von $f$ von $a$ bis $b$.
Wie im letzten Kapitel gezeigt nutzt man in Anwendugssituationen dieses so gebildete Integral zur Rekonstruktion eines Bestandes aus seinen Änderungsraten.
Geometrisch lässt sich das Integral mit Hilfe von Flächeninhalten deuten.
Das Integral $I_a(b)$ von $f$ von $a$ bis $b$ lässt sich als orientierter Flächeninhalt von $f$ zum Intervall $a \leq x \leq b$ deuten.
Diese geometrische Deutung wird im nächsten Kapitel noch genauer betrachtet.
Die Integralschreibweise verwenden
Das Integral von $f$ von $a$ bis $b$ wird auch so geschrieben:
$I_a(b) = \int\limits_a^b f(x) dx$
Diese Schreibweise hat folgenden Hintergrund.
Das Integral $I_a(b)$ ist der Grenzwert von Untersummen bzw. Obersummen, die jeweils die folgende Struktur haben:
$U_n$: Summe von Produkten der Gestalt $\underbrace{f(x)}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}}$
$O_n$: Summe von Produkten der Gestalt $\underbrace{f(x)}_{\text{Stufenhöhe}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\text{Stufenbreite}}$
In jedem Teilintervall wird die Stufenhöhe durch einen Funktionswert $f(x)$ für ein passend gewähltes $x$ bestimmt. Die Stufenbreite $\Delta x$ erhält man, wenn man die Länge des Gesamtintervalls durch die Anzahl der Unterteilungen dividiert.
Wenn man das Zeichen $\int$ für (S)ummen nutzt sowie $dx$ für $\Delta x$ schreibt, dann lässt sich die Grundidee des Integrals so darstellen:
$\begin{array}{lll} O_n & = & \int \text{umme von Produkten der Gestalt } f(x) \cdot \Delta x \\ & \downarrow & n \rightarrow \infty \\ I_a(b) & = & \int\limits_a^b f(x) dx \\ & \uparrow & n \rightarrow \infty \\ U_n & = & \int \text{umme von Produkten der Gestalt } f(x) \cdot \Delta x \end{array}$
Diese Integralschreibweise ist historisch bedingt und hat sich im Laufe der Zeit durchgesetzt.
