Vertiefung
Zur Orientierung
Wir betrachten weiterhin Populationsentwicklungsprozesse, bei denen die Population in Altersklassen aufgeteilt ist. Ziel ist es, für solche Prozesse geeignete Modelle zu entwickeln.
Eine Population mit erweiterten Alterklassen modellieren
Die Simulation einer Populationsentwicklung erfolgt schrittweise in fest vorgegebenen Zeiteinheiten (z.B. in Jahren).
Wir betrachten hier Populationsentwicklungsmodelle, bei denen die Zustände ein Intervall erreichter Alter beschreiben.
So beschreibt ein Zustand 2-4
die Gesamtheit aller Individuen, die $2$, $3$ oder $4$ Zeiteinheiten alt sind.
Der folgende Graph zeigt ein Beispiel mit solchen Altersklassen.
Die Angaben an den horizontalen geradlinigen Übergängen und den gebogenen Übergüngen unterhalb der Zustände geben Überlebensraten an, die Angaben an den gebogenen Übergängen oberhalb der Zustände Vermehrungsraten.
Aufgabe 1
(a) Betrachte eine Situation, in der sich jeweils $100$ Individuen in den $4$ Altersgruppen befinden. Bestimme die Anzahl der Individuen in den Altergruppen nach $1$ Simulationsschritt.
| Schritte | Verteilungsvektor |
|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ |
| $1$ | $\vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
(b) Beschreibe das Populationsentwicklungsmodell mit einer Prozessmatrix, so dass $\vec{v}_{1} = P \cdot \vec{v}_{0}$ gilt.
| Übergangsgraph | Prozessmatrix |
|---|---|
|
|
$P = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ |
