Vertiefung

Populationswerte berechnen

Wir betrachten das im letzten Abschnitt entwickelte Populationsentwicklungsmodell.

Übergangsgraph	Übergangstabelle
	von Ei von La von Pu von Kä zu Ei $0$ $0$ $0$ $50$ zu La $0.4$ $0$ $0$ $0$ zu Pu $0$ $0.2$ $0$ $0$ zu Kä $0$ $0$ $0.25$ $0$

Aufgabe 1

(a) In der folgenden Tabelle sind die Anzahlen der Eier, Käfer, Larven und Puppen einer Maikäferpopulation zu Beginn (Schritt $0$) bereits eingetragen. Jeder Schritt beschreibt ein Jahr. In der Tabelle sollen die neuen Anzahlen nach dem jeweiligen Schritt eingetragen werden. Die Tabelle einhält Eingabefelder, die dir nach der Eingabe eine Rückmeldung geben, ob du die Anzahl richtig bestimmt hast.

Schritte	Ei	La	Pu	Kä
$0$	$1000$	$200$	$40$	$100$
$1$
$2$
$3$
$4$

(b) Schaue dir genauer an, wie die Anzahlen in den Spalten mit den Übergangsraten im Modell zustande kommen. Begründe, warum sich die Ausgangswerte nach $4$ Schritten (bzw. Jahren) reproduzieren.

Populationswerte mit Matrizen berechnen

Im Simulationstool ProSiTo ist noch einmal das Populationsentwicklungsmodell für die betrachtete Maikäferpopulation dargestellt. Die Übergangstabelle wird hier zusätzlich mit einer Prozessmatrix beschrieben.

Die Prozessmatrix wird im Folgenden mit dem Symbol $P$ abgekürzt.

Aufgabe 2

Verdeutliche in der folgenden Übersicht exemplarisch, dass man die Verteilungsvektoren zur Populationsentwicklung mit dem Matrix-Vektor-Produkt berechnen kann. Führe hierzu die Berechnungen aus und vergleiche die Ergebnisse mit denen, die ProSiTo liefert.

Schritte	Berechnung	Verteilungsvektor
$0$	$\vec{v}_0$ =	$\begin{pmatrix} 1000 \\ 400 \\ 80 \\ 100 \end{pmatrix}$
$1$	$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1000 \\ 400 \\ 80 \\ 100 \end{pmatrix} = $	$\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$2$	$\vec{v}_2 = P \cdot \vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} = $	$\begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$

Aufgabe 3

Die Verteilungsvektoren einer Populationsentwicklung kann man auch mit Matrixpotenzen berechnen.

Schritte	Verteilungsvektor	rekursive Darstellung	Umformung	Potenzschreibweise
$0$	$\vec{v}_{0}$		$= E \cdot \vec{v}_{0}$	$= P^0 \cdot \vec{v}_{0}$
$1$	$\vec{v}_{1}$	$= P \cdot \vec{v}_{0}$	$= P \cdot \vec{v}_{0}$	$= P^1 \cdot \vec{v}_{0}$
$2$	$\vec{v}_{2}$	$= P \cdot \vec{v}_{1}$	$= P \cdot (P \cdot \vec{v}_{0}) = (P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}$	$= P^2 \cdot \vec{v}_{0}$
$3$	$\vec{v}_{3}$	$= P \cdot \vec{v}_{2}$	$= P \cdot ((P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}) = (P \cdot P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}$	$= P^3 \cdot \vec{v}_{0}$
...	...	...	...	...

Berechne die Potenzen der Prozessmatrix $P$. Was fällt nach $4$ Berechnungsschritten auf? Begründe mit Hilfe der Matrixpotenz $P^{4}$ das Verhalten der Maikäferpopulation.

Schritte	Berechnung	Matrixpotenz
$0$	$P^{0}$ = E =	\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$1$	$P^{1}$ = P =	\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix}
$2$	$P^{2} = P \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} = $	\begin{pmatrix} 0 & 0 & 12.5 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}
$3$	$P^{3} = P^{2} \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 12.5 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} = $	\begin{pmatrix} 0 & 2.5 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}
$4$	$P^{4} = P^{3} \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 2.5 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix} = $	\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}