Zusammenfassung - Altersklassenmodelle

Das Basismodell

Um Vorhersagen über die Entwicklung einer Population zu treffen, wird diese häufig in Altersklassen aufgeteilt. Der folgende Graph zeigt ein einfaches Modell mit $4$ Altersklassen.

Folgende Modellannahmen werden hier getroffen:

• Die Simulation der Population erfolgt schrittweise in fest vorgegebenen Zeiteinheiten (z.B. in Jahren).
• Die Altersklassen sind hier mit dem erreichten Alter (im Beispiel $0$, ..., $3$ Zeiteinheiten) bezeichnet.
• Nur ein bestimmter Anteil der Mitglieder überlebt einen Simulationsschritt und wechselt in die nächste Altersklasse. Die Anteile werden mit Überlebensraten beschrieben. Im gezeigten Beispiel überlebt ein Anteil von $20 \%$ der Mitglieder der Alterklasse $0$ einen Simulationsschritt und wechselt in die nächste Altersklasse $1$. Alle anderen Mitglieder der Altersklasse $0$ sterben in einem Simulationsschritt. Entsprechend überlebt ein Anteil von $80 \%$ der Mitglieder der Alterklasse $1$ einen Simulationsschritt und wechselt in die nächste Altersklasse $2$. Alle anderen Mitglieder der Altersklasse $1$ sterben in einem Simulationsschritt.
• Alle Mitglieder der höchsten Alterklasse sterben in einem Simulationsschritt.
• Alle Altersklassen können zur Fortpflanzung der Population beitragen, indem sie neue Mitglieder der Altersklasse $0$ erzeugen. Die Anzahl dieser neu erzeugten Mitglieder werden mit Vermehrungsraten beschrieben. Im gezeigten Beispiel erzeugt jedes Mitglied der Altersklasse $0$ in einem Simulationsschritt im Mittel $0.4$ neue Mitglieder der Altersklasse $0$. Entsprechend erzeugt jedes Mitglied der Altersklasse $1$ in einem Simulationsschritt im Mittel $1.2$ neue Mitglieder der Altersklasse $0$.

In der folgenden Übersicht ist die Struktur dieses Modells (exemplarisch für $4$ Altersklassen) zusammen mit der zugehörigen Prozessmatrix dargestellt.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P = \begin{pmatrix} f_0 & f_1 & f_2 & f_3 \\ a_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & 0 \end{pmatrix}$

In konkreten Fällen können einige der Vermehrungsraten auch $0$ betragen. Die zugehörigen Übergänge werden dann im Übergangsgraph weggelassen.

Ein erweitetes Basismodell

Gelegentlich ist es sinnvoll, eine Art Sammelzustand für ältere Populationsmitglieder vorzusehen.

Folgende Modellannahmen werden hier getroffen:

• Die Simulation der Population erfolgt schrittweise in fest vorgegebenen Zeiteinheiten (z.B. in Jahren).
• Altersklassen werden z.T. auch hier mit dem erreichten Alter bezeichnet (im Beispiel: $0$, $1$, $2$ Zeiteinheiten). Die letzte Altersklasse (im Beispiel die Altersklasse $3+$) umfasst alle Populationsmitglieder, die ein bestimmtes Mindestalter (im Beispiel mindestens $3$ Zeiteinheiten) erreicht haben.
• Nur ein bestimmter Anteil der Mitglieder überlebt einen Simulationsschritt und wechselt in die nächste Altersklasse. Die Anteile werden mit Überlebensraten beschrieben.
• Die Überlebensrate in der höchsten Altersklasse gibt an, wie viele Mitglieder dieser Alterklasse in einem Simulationsschritt überleben und somit in dieser Altersklasse verbleiben. Im Beispiel sind das $5 \%$ der Mitglieder.
• Alle Altersklassen können zur Fortpflanzung der Population beitragen, indem sie neue Mitglieder der Altersklasse $0$ erzeugen. Die Anzahl dieser neu erzeugten Mitglieder werden mit Vermehrungsraten beschrieben.

In der folgenden Übersicht ist die Struktur dieses Modells (exemplarisch für $4$ Altersklassen) zusammen mit der zugehörigen Prozessmatrix dargestellt.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P = \begin{pmatrix} f_0 & f_1 & f_2 & f_3 \\ a_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & a_3 \end{pmatrix}$

In konkreten Fällen können auch hier einige der Vermehrungsraten auch $0$ betragen. Die zugehörigen Übergänge werden dann im Übergangsgraph weggelassen.

Ein variiertes Modell

Für manche Anwendungen ist es sinnvoll, die Alterklassen so zu wählen, dass sie mehrere Altersschritte umfassen.

Folgende Modellannahmen werden hier getroffen:

• Die Simulation der Population erfolgt schrittweise in fest vorgegebenen Zeiteinheiten (z.B. in Jahren).
• Die Altersklassen können mehrere erreichte Zeiteinheiten umfassen. (im Beispiel beschreibt $2-4$ die Populationsmitglieder, die $2$, $3$ oder $4$ Zeiteinheiten alt sind). Die letzte Altersklasse (im Beispiel die Altersklasse $6+$) umfasst alle Populationsmitglieder, die ein bestimmtes Mindestalter (im Beispiel mindestens $6$ Zeiteinheiten) erreicht haben.
• Nur ein bestimmter Anteil der Mitglieder überlebt einen Simulationsschritt. Einige dieser Mitglieder verbleiben in der Alterklasse, andere wechseln in die nächste Altersklasse. Im Beispiel verbleiben $75 \%$ der Mitglieder der Altersklasse $2-4$ in einem Schitt in dieser Klasse, $5 \%$ wechseln in die nächste Klasse, die restlichen $10 \%$ überleben diese Zeiteinheit nicht.
• Alle Altersklassen können zur Fortpflanzung der Population beitragen, indem sie neue Mitglieder der Altersklasse $0$ erzeugen. Die Anzahl dieser neu erzeugten Mitglieder werden mit Vermehrungsraten beschrieben.

In der folgenden Übersicht ist die Struktur dieses Modells (exemplarisch für $4$ Altersklassen) zusammen mit der zugehörigen Prozessmatrix dargestellt.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P = \begin{pmatrix} f_0+b_0 & f_1 & f_2 & f_3 \\ a_0 & b_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_1 & b_2 & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & b_3 \end{pmatrix}$

In konkreten Fällen können auch hier einige der Vermehrungsraten auch $0$ betragen. Die zugehörigen Übergänge werden dann im Übergangsgraph weggelassen.

Simulation der Modelle

Die Simulation eines Altersklassenmodells erfolgt in der üblichen Weise.

Wenn $\vec{v}_{0}$ die vorgegebene Verteilung der Populationsmitglieder auf die Altersklassen zu Beginn beschreibt, dann erhält man die weiteren Verteilungen nach $n$ Simulationsschritten wie folgt:

rekursiv: $\vec{v}_{n} = P \cdot \vec{v}_{n-1}$ (für alle $n > 0$)

explizit: $\vec{v}_{n} = P^{n} \cdot \vec{v}_{0}$ (mit der Matrixpotenz $P^n$)