Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir betrachten hier beliebige mehrstufige Populationsentwicklungsprozesse. Ziel ist es, für solche Prozesse verallgemeinernde Ergebnisse zu entwickeln.
Mehrstufige Populationsentwicklungsprozesse untersuchen
Betrachte einen $3$-stufigen Entwicklungsprozess einer Population mit den Entwicklungstadien A, B und C.
| Übergangsgraph | Übergangstabelle | ||||||||||||||||
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In jedem Schritt entstehen aus Individuen eines Stadiums neue Individuen des Folgestadiums. Kein Individuum verbleibt dabei im aktuellen Stadium. Es handelt sich also um einen zyklischen Entwicklungsprozess, der mit einem zyklischen Modell beschrieben wird.
Von C nach A soll eine Vermehrung der Population stattfinden. Wir bezeichnen die Vermehrungsrate von C nach A mit $c$. In den Übergängen von A nach B und von B nach C reduziert sich die Population. Die Überlebensraten werden mit $a$ und $b$ bezeichnet.
Die Prozessmatrix eines solchen zyklischen Populationsentwicklungsprozesses hat die Gestalt:
$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix}$
Aufgabe 1
Zur Vorhersage der Populationsentwicklung ist es günstig, wenn man die Potenzen der Prozessmatrix $P$ kennt.
(a) Bestimme $P^2$. Ergänze hierzu in der folgenden Rechnung die fehlenden Werte.
$P^{2} = P \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & c \cdot b & 0 \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$
(b) Benutze das Ergebnis aus (a), um $P^3$ zu bestimmen. Ergänze hierzu die folgende Rechnung.
$P^{3} = P^{2} \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & c \cdot b & 0 \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \cdot b \cdot a & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$
(c) Begründe: Es gilt $P^{3} = q \cdot E$ mit $q = a \cdot b \cdot c$ und der dreidimensionalen Einheitsmatrix $E$.
(d) Begründe: Aus (c) folgt, dass $P^{6} = q^2 \cdot E$, $P^{9} = q^3 \cdot E$ usw..
(e) Welche Besonderheit entsteht, wenn $a \cdot b \cdot c = 1$ gilt? Ergänze den Satz:
Wenn $a \cdot b \cdot c = 1$, dann gilt $P^{6} = \dots$, $P^{6} = \dots$, $P^{9} = \dots$ usw..
Aufgabe 2
Verteilungsvektoren kann man mit den Potenzen der Prozessmatrix $P$ bestimmen. Für den Verteilungsvektor $\vec{v}_{n}$ gilt:
$\vec{v}_{n} = P^{n} \cdot \vec{v}_{0}$
(a) Begründe mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1 (e):
Wenn $a \cdot b \cdot c = 1$, dann gilt $\vec{v}_{3} = \vec{v}_{0}$, $\vec{v}_{6} = \vec{v}_{0}$, $\vec{v}_{9} = \vec{v}_{0}$ usw..
(b) Deute das Ergebnis aus (a).
Aufgabe 3
Untersuche analog einen $4$-stufigen Entwicklungsprozess einer Population mit den Entwicklungstadien A, B, C und D. Der Entwicklungsprozess soll wie im Übergangsgraphen dargestellt erfolgen.
Ergebnisse zusammenfassen
Aufgabe 4
Ergänze im Folgenden die fehlenden Teile.
| Populationsmodell | Prozessmatrix | Potenzen der Prozessmatrix | zyklisch stabile Verteilungsvektoren |
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$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \end{pmatrix}$ | $P^{3} = \underbrace{a \cdot b \cdot c}_{q} \cdot E$ |
Wenn $a \cdot b \cdot c = 1$, dann gilt: $\vec{v}_{3} = \vec{v}_{0}$ $\vec{v}_{6} = \vec{v}_{0}$ $\vec{v}_{9} = \vec{v}_{0}$ $\dots$ |
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$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & d \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \end{pmatrix}$ | $P^{4} = \underbrace{a \cdot b \cdot c \cdot d}_{q} \cdot E$ |
Wenn $a \cdot b \cdot c \cdot d = 1$, dann gilt: $\vec{v}_{4} = \vec{v}_{0}$ $\vec{v}_{8} = \vec{v}_{0}$ $\vec{v}_{12} = \vec{v}_{0}$ $\dots$ |
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$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & f \\ a_1 & 0 & 0 &\cdots & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 &\cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & a_{n-1} & 0 \end{pmatrix}$ | $P^{n} = \dots$ |
Wenn $f \cdot a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-1} = 1$, dann gilt: $\dots$ |
Zur Beschreibung solch zyklischer Prozesse führen wir einen neuen Begriff ein.
Zyklische Prozessmatrix
Eine $n$-dimensionale Prozessmatrix $P$ ist zyklisch genau dann, wenn es eine reelle Zahl $q$ gibt, so dass $P^{n} = q \cdot E$ (mit der $n$-dimensionalen Einheitsmatrix $E$) gilt.
Zyklische Prozesse erhält man bei mehrstufigen Populationsentwicklungsprozessen.
Satz über mehrstufige Populationsentwicklungsprozesse
Gegeben ist ein $n$-stufiger Populationsentwicklungsprozess mit der Vermehrungsrate $f$ und den Überlebensraten $a_1, r_2, \dots a_{n-1}$.
Für die zugehörige Prozessmatrix $P$ gilt dann $P^{n} = \dots$. Die Matrix $P$ ist also eine zyklische Prozessmatrix.
Für $\dots$ erhält man dann zyklisch stabile Verteilungsvektoren mit $\vec{v}_{0} = \vec{v}_{n} = \vec{v}_{2n} = \vec{v}_{3n} = \dots$.
