Vertiefung

Das Populationsentwicklungsmodell untersuchen

Aufgabe 1

(a) Zeige: Es gilt $\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = (-0.4) \cdot \vec{v}_0$. Führe hierzu die folgende Berechnung aus.

$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix} = \dots$

(b) Zeige, dass man hieraus folgende Formel erhält:

$\vec{v}_i = (-0.4)^i \cdot \vec{v}_0$ für $i = 1, 2, \dots$

Aufgabe 4

(a) Zeige, dass man $\vec{v}_0$ auch so darstellen kann:

$\vec{v}_0 = 3 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} + 1 \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -10 \\ 3 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2} = \dots$.

(b) Benutze die bereits bekannten Zusammenhänge $P \cdot \vec{w}_1 = 2 \cdot \vec{w}_1$ und $P \cdot \vec{w}_2 = (-0.4) \cdot \vec{w}_2$, um Formeln für die folgenden Verteilungsvektoren herzuleiten.

$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = P \cdot (3 \cdot \vec{w}_1 + 1 \cdot \vec{w}_2) = \dots$

$\vec{v}_2 = P \cdot \vec{v}_1 = \dots$

$\vec{v}_i = \dots$

(c) Berechne $\vec{v}_{10}$ mit der Formel für $\vec{v}_i$ aus (b). Warum ist das jetzt so einfach? Kontrolliere dein Ergebnis im Applet oben.

(d) Begründe mit der Formel für $\vec{v}_{i}$: Die Population wächst auf lange Sicht exponentiell.