Übungen - Zyklische Prozesse

Aufgabe 1

Eine Insektenpopulation wird vereifacht mit folgendem Populationsentwicklungsmodell beschrieben: Aus Eiern entwickeln sich in einem Simulationsschritt Larven. Diese wiederum entwickeln sich im nächsten Simulationsschritt zu Insekten. Die Insekt legen nach einem weiteren Simulationsschritt eine Vielzahl an Eiern und sterben dann. Im Übergangraph sind die Vermehrungsrate und die jeweiligen Überlebensraten dargestellt. Wir gehen davon aus, dass diese Raten über mehrere Simulationsschritte gleich bleiben.

Übergangsgraph	Übergangstabelle	Prozessmatrix
	von Ei von La von In zu Ei $\dots$ $\dots$ $\dots$ zu La $\dots$ $\dots$ $\dots$ zu In $\dots$ $\dots$ $\dots$	$P = \begin{pmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{pmatrix}$

(a) Erläutere kurz die vereinfachenden Annahmen, die bei der Modellierung der Populationsentwicklung gemacht werden.

(b) Ergänze die Übergangstabelle und bestimme mit ihr die Prozessmatrix $P$.

(c) Starte mit der in der folgenden Übersicht angegebenen Anfangsverteilung. Berechne für $3$ Schritte den jeweils nächsten Verteilungsvektor. Für $\vec{v}_2$ ist ein Kontrollwert angegeben.

Schritte	Berechnung des Verteilungsvektors
$0$	$\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 300 \\ 100 \\ 200 \end{pmatrix}$
$1$	$\vec{v}_1 = \dots$
$2$	$\vec{v}_2 = \dots = \begin{pmatrix} \cdots \\ 600 \\ \cdots \end{pmatrix}$
$3$	$\vec{v}_3 = \dots = \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix}$

(d) Formuliere ausgehend von den Ergebnissen aus (c) eine Vermutung über die langfristige Entwicklung der Population.

(e) Berechne die Matrixpotenz $P^3$. Was lässt sich aus dieser Matrixpotenz erschließen?

Aufgabe 2

Gegeben ist die Prozessmatrix für eine Populationsentwicklung:

$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 20 \\ 0.2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.4 & 0 \end{pmatrix}$

Betrachte die folgende Ausgangsverteilung:

$\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 400 \\ 200 \\ 500 \\ 40 \end{pmatrix}$

(a) Zeige, dass $P^4 = 0.8 \cdot E$ gilt. Die Matrix $E$ ist dabei die $4$-dimensionale Einheitsmatrix.

(b) Bestimme mit dem Ergebnis aus (a) die Verteilung nach $8$ Simulationsschritten.

(c) Gesucht ist die Verteilung nach $10$ Simulationsschritten. Erläutere und ergänze die folgende Rechnung.

$\vec{v}_{10} = P^{10} \cdot \vec{v}_{0} = (P^{2} \cdot P^{4} \cdot P^{4}) \cdot \vec{v}_{0} = P^{2} \cdot (P^{4} \cdot (P^{4} \cdot \vec{v}_{0})) = \dots$

(d) Berechne analog die Verteilung nach $21$ Simulationsschritten.

Aufgabe 3

Betrachte eine Populationsentwicklung mit folgender Prozessmatrix:

$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 50 \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0 \end{pmatrix}$

Mit geeigneten Maßnahmen (wie Fressfeinde) soll die Population langfristig stabil bleiben. Es soll also weder zu einer unkontrollierten Vermehrung, noch zu einem Aussterben der Population kommen. Bestimme eine hierfür geeignete Überlebensrate $a$.

Aufgabe 4

Eine Population mit den Entwicklungsstadien Ei-Larve-Insekt zeigt folgende Verteilungswerte:

Schritte	Berechnung des Verteilungsvektors
$0$	$\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 300 \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix}$
$1$	$\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1000 \\ 150 \\ \cdots \end{pmatrix}$
$2$	$\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{pmatrix}$
$3$	$\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 300 \\ \cdots \\ 100 \end{pmatrix}$

Rekonstruiere mit diesen Daten das Populationsentwicklungsmodell. Beschreibe es mit einem Übergangsgraphen.

Aufgabe 5

Betrachte eine Populationsentwicklung mit folgender Prozessmatrix:

$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 10 \\ 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0.25 & 0 \end{pmatrix}$

Betrachte die Verteilung nach $1$ Simulationsschritt:

$\vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} 1000 \\ 40 \\ 25 \end{pmatrix}$

(a) Wie erhält man die Ausgangsverteilung $\vec{v}_{0}$? Bestimme diese Ausgangsverteilung.

(b) Bestimme die inverse Matrix $P^{-1}$. Welche Bedeutung hat diese Matrix bei der Simulation der Populationsentwicklung?