Erarbeitung
Zielsetzung
Ziel ist es, das folgende Popualtionsentwicklungsmodell genauer zu analysieren.
Das Populationsentwicklungsmodell untersuchen
Aufgabe 1
Betrachte die im Applet oben vorgegebenen Daten zur Populationsentwicklung.
Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix}$
Verteilungsvektor $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}$
Ges.:
Formeln für $\vec{v}_i$
(a) Zeige: Es gilt $\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = 2 \cdot \vec{v}_0$. Führe hierzu die folgende Berechnung aus.
$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} = \dots$
(b) Was folgt hieraus? Gib jeweils passende Formeln an, in denen die Verteilungsvektoren als Vielfache dr Ausgangsverteilung dargestellt werden.
$\vec{v}_2 = P \cdot \vec{v}_1 = \dots$
$\vec{v}_3 = P \cdot \vec{v}_2 = \dots$
$\vec{v}_i = \dots$
(c) Berechne $\vec{v}_{10}$ mit der Formel für $\vec{v}_i$ aus (b). Warum ist das jetzt so einfach? Kontrolliere dein Ergebnis im Applet oben.
(d) Begründe mit der Formel für $\vec{v}_{i}$: Die Population wächst exponentiell.
(e) Begründe: Der in (b) beschriebene Zusammenhang gilt für $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix}$ und alle Verteilungsvektor der Gestalt $\vec{v}_0 = r \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit einer beliebigen (positiven) reellen Zahl $r$.
Aufgabe 2
Gilt der in Aufgabe 1 beschriebene Zusammenhang für die vorgegebene Prozessmatrix $P$ und beliebige Verteilungsvektoren? Betrachte hierzu einen exemplarisch gewählten Verteilungsvektor.
Prozessmatrix $P = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix}$
Verteilungsvektor $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix}$
Ges.:
$\vec{v}_1$
Berechne:
$\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.8 & 4 \\ 0.36 & 0.8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix} = \dots$
