Strukturierung - Prognoseintervalle für Häufigkeiten
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt hast du Progonseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten bei Würfelserien bestimmt – und zwar so, dass die Wahrscheinlichkeiten dieser Prognoseintervalle bestimmte vorgegebene Sicherheitswerte annehmen.
Wir verallgemeinern die Fragestellung jetzt wie folgt:
Leitfrage
In welchen Bereichen werden voraussichtlich die absoluten und relativen Trefferhäufigkeiten bei Bernoulli-Ketten für gängige Sicherheitswahrscheinlichkeiten liegen?
Es geht also um beliebige Bernoulli-Ketten. Damit erfassen wir insbesondere Situationen, in denen ein Zufallsexperiment wiederholt unter gleichen Bedingungen durchgeführt wird. Ein besonderer Fokus liegt hier auf den relativen Trefferhäufigkeiten bei solchen Versuchsreihen.
Einstieg - Absolute Häufigkeiten betrachten
Im letzten Abschnitt hast du bereits Progonseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten bei Bernoulli-Ketten für gängige Sicherheitswahrscheinlichkeiten bestimmt. Absolute Trefferhäufigkeiten werden dabei mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ (für die Anzahl der Treffer) erfasst.
Zum Herunterladen: prognoseintervalle1.ggb
Aufgabe 1
(a) Bestimme mit Hilfe des Applets das $95\%$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit $X$ bei einer Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$.
$95\%$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit: $\dots \leq X \leq \dots$.
(b) Deute das Ergebnis. Ergänze hierzu den folgenden Satz:
Wird eine Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$ durchführt, dann ist zu erwarten, dass ....
Erarbeitung - Relative Häufigkeiten betrachten
Relative Trefferhäufigkeiten werden erhalten, indem absolute Trefferhäufigkeiten durch die Anzahl der durchgeführten Versuche dividiert werden. Die Anzahl der Versuche wird dabei durch die Länge $n$ der Bernoulli-Kette beschrieben.
Aufgabe 2
(a) Nutze das Ergebnis aus Aufgabe 1, um das $95\%$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit $\frac{X}{n}$ bei einer Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$ zu bestimmen.
$95\%$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $\dots \leq \frac{X}{n} \leq \dots$.
(b) Deute das Ergebnis. Ergänze hierzu den folgenden Satz:
Wird eine Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$ durchführt, dann ist zu erwarten, dass ....
(c) Kontrolliere dein Ergebnis mit dem folgenden Applet:
Zum Herunterladen: prognoseintervalle2.ggb
Vertiefung - Formeln entwickeln
Prognoseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten werden meist mit Hilfe des Erwartungswerts $\mu = E(X)$ und Vielfachen der Standardabweichung $\sigma = \sigma(X)$ beschrieben:
$r\sigma$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit: $\mu - r \cdot \sigma \leq X \leq \mu - r \cdot \sigma$
Die Vielfachen von $\sigma$ werden so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit der Prognoseintervalle ganz bestimmte Werte annimmt – die sogenannten Sicherheitswahrscheinlichkeiten.
$P(\mu - r \cdot \sigma \leq X \leq \mu - r \cdot \sigma)$ | $r \cdot \sigma$ |
---|---|
$90\%$ | $1.64 \cdot \sigma$ |
$95\%$ | $1.96 \cdot \sigma$ |
$99\%$ | $2.58 \cdot \sigma$ |
Die entsprechenden Prognoseintervalle für relative Trefferhäufigkeiten mit denselben Sicherheitswahrscheinlichkeiten werden erhalten, indem die absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl $n$ der durchgeführten Versuche dividiert werden:
$r\sigma$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $\frac{\mu}{n} - r \cdot \frac{\sigma}{n} \leq \frac{X}{n} \leq \frac{\mu}{n} + r \cdot \frac{\sigma}{n}$
Aufgabe 3
(a) Begründe: $\frac{\mu}{n} = p$
(b) Begründe: $\frac{\sigma}{n} = \frac{\sqrt{p\cdot(1-p)}}{\sqrt{n}}$
(c) Begründe: Es wird dann folgende Darstellung der Prognoseintervalle für relative Häufigkeiten erhalten:
$r\sigma$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $p - r \cdot \sqrt{p\cdot(1-p)} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{X}{n} \leq p + r \cdot \sqrt{p\cdot(1-p)} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$
(d) Bestimme mit dieser Formel das $95\%$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit bei einer Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$. Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2.
Vertiefung - Gesetzmäßigkeiten untersuchen
Hier geht es um folgende Frage: Wie ändert sich das Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit, wenn die Länge der Versuchsreihe $n$ wächst? Mit dem folgenden Applet kannst du das untersuchen.
Zum Herunterladen: prognoseintervalle3.ggb
Aufgabe 4
Betrachte eine Bernoulli-Kette mit fest vorgegebener Trefferwahrscheinlichkeit - z.B. $p = 0.5$.
(a) Bestimme für verschiedene $n$-Werte die Breite des $95\%$-Prognoseintervalls und trage die Ergebnisse in die Tabelle ein.
Länge der Versuchsreihe | $95\%$-Prognoseintervall | Breite des Prognoseintervalls |
---|---|---|
$n = 50$ | $0.3614 \leq \frac{X}{n} \leq 0.6386$ | $0.2772$ |
$n = 100$ | ||
$n = 200$ | ||
$n = 400$ | ||
$n = 800$ |
(b) Ergänze folgende Regel:
Wird die Länge $n$ der Versuchsreihe vervierfacht, ...
(c) Erläutere die praktische Bedeutung der Regel.