Strukturierung - Prognoseintervalle für Häufigkeiten

Zur Orientierung

Im letzten Abschnitt hast du Progonseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten bei Würfelserien bestimmt – und zwar so, dass die Wahrscheinlichkeiten dieser Prognoseintervalle bestimmte vorgegebene Sicherheitswerte annehmen.

Wir verallgemeinern die Fragestellung jetzt wie folgt:

Es geht also um beliebige Bernoulli-Ketten. Damit erfassen wir insbesondere Situationen, in denen ein Zufallsexperiment wiederholt unter gleichen Bedingungen durchgeführt wird. Ein besonderer Fokus liegt hier auf den relativen Trefferhäufigkeiten bei solchen Versuchsreihen.

Einstieg - Absolute Häufigkeiten betrachten

Im letzten Abschnitt hast du bereits Progonseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten bei Bernoulli-Ketten für gängige Sicherheitswahrscheinlichkeiten bestimmt. Absolute Trefferhäufigkeiten werden dabei mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ (für die Anzahl der Treffer) erfasst.

Zum Herunterladen: prognoseintervalle1.ggb

Aufgabe 1

(a) Bestimme mit Hilfe des Applets das $95\%$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit $X$ bei einer Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$.

$95\%$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit: $\dots \leq X \leq \dots$.

(b) Deute das Ergebnis. Ergänze hierzu den folgenden Satz:

Wird eine Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$ durchführt, dann ist zu erwarten, dass ....

Erarbeitung - Relative Häufigkeiten betrachten

Wir erhalten relative Trefferhäufigkeiten, indem wir absolute Trefferhäufigkeiten durch die Anzahl der durchgeführten Versuche dividieren. Die Anzahl der Versuche wird dabei durch die Länge $n$ der Bernoulli-Kette beschrieben.

Aufgabe 2

(a) Nutze das Ergebnis aus Aufgabe 1, um das $95\%$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit $\frac{X}{n}$ bei einer Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$ zu bestimmen.

$95\%$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $\dots \leq \frac{X}{n} \leq \dots$.

(b) Deute das Ergebnis. Ergänze hierzu den folgenden Satz:

Wird eine Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$ durchführt, dann ist zu erwarten, dass ....

(c) Kontrolliere dein Ergebnis mit dem folgenden Applet:

Zum Herunterladen: prognoseintervalle2.ggb

Vertiefung - Formeln entwickeln

Prognoseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten werden meist mit Hilfe des Erwartungswerts $\mu = E(X)$ und Vielfachen der Standardabweichung $\sigma = \sigma(X)$ beschrieben:

$r\sigma$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit: $\mu - r \cdot \sigma \leq X \leq \mu + r \cdot \sigma$

Die Vielfachen von $\sigma$ werden so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit der Prognoseintervalle ganz bestimmte Werte annimmt – die sogenannten Sicherheitswahrscheinlichkeiten.

$P(\mu - r \cdot \sigma \leq X \leq \mu + r \cdot \sigma)$	$r \cdot \sigma$
$90\%$	$1.64 \cdot \sigma$
$95\%$	$1.96 \cdot \sigma$
$99\%$	$2.58 \cdot \sigma$

Die entsprechenden Prognoseintervalle für relative Trefferhäufigkeiten mit denselben Sicherheitswahrscheinlichkeiten erhalten wir, indem wir die absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl $n$ der durchgeführten Versuche dividieren:

$r\sigma$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $\frac{\mu}{n} - r \cdot \frac{\sigma}{n} \leq \frac{X}{n} \leq \frac{\mu}{n} + r \cdot \frac{\sigma}{n}$

Aufgabe 3

(a) Begründe: $\frac{\mu}{n} = p$

(b) Begründe: $\frac{\sigma}{n} = \frac{\sqrt{p\cdot(1-p)}}{\sqrt{n}}$

(c) Begründe: Wir erhalten dann folgende Darstellung der Prognoseintervalle für relative Häufigkeiten:

$r\sigma$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $p - r \cdot \sqrt{p\cdot(1-p)} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{X}{n} \leq p + r \cdot \sqrt{p\cdot(1-p)} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$

(d) Bestimme mit dieser Formel das $95\%$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit bei einer Bernoulli-Kette mit $n = 200$ und $p = 0.4$. Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2.

Vertiefung - Gesetzmäßigkeiten untersuchen

Hier geht es um folgende Frage: Wie ändert sich das Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit, wenn die Länge der Versuchsreihe $n$ wächst? Mit dem folgenden Applet kannst du das untersuchen.

Zum Herunterladen: prognoseintervalle3.ggb

Aufgabe 4

Betrachte eine Bernoulli-Kette mit fest vorgegebener Trefferwahrscheinlichkeit z. B. $p = 0.5$.

(a) Bestimme für verschiedene $n$-Werte die Breite des $95\%$-Prognoseintervalls und trage die Ergebnisse in die Tabelle ein.

Länge der Versuchsreihe	$95\%$-Prognoseintervall	Breite des Prognoseintervalls
$n = 50$	$0.3614 \leq \frac{X}{n} \leq 0.6386$	$0.2772$
$n = 100$
$n = 200$
$n = 400$
$n = 800$

(b) Ergänze folgende Regel:

Wird die Länge $n$ der Versuchsreihe vervierfacht, ...

(c) Erläutere die praktische Bedeutung der Regel.