Strukturierung - Prognoseintervalle für Häufigkeiten

Zur Orientierung

Im letzten Abschnitt hast du Progonseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten bei Würfelserien bestimmt – und zwar so, dass die Wahrscheinlichkeiten dieser Prognoseintervalle bestimmte vorgegebene Sicherheitswerte annehmen.

Wir verallgemeinern die Fragestellung jetzt wie folgt:

Es geht also um beliebige Bernoulli-Ketten. Damit erfassen wir insbesondere Situationen, in denen ein Zufallsexperiment wiederholt unter gleichen Bedingungen durchgeführt wird. Ein besonderer Fokus liegt hier auf den relativen Trefferhäufigkeiten bei solchen Versuchsreihen.

Einstieg - Absolute Häufigkeiten betrachten

Im letzten Abschnitt hast du bereits Progonseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten bei Bernoulli-Ketten für gängige Sicherheitswahrscheinlichkeiten bestimmt. Absolute Trefferhäufigkeiten werden dabei mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ (für die Anzahl der Treffer) erfasst.

Zum Herunterladen: prognoseintervalle1.ggb

Aufgabe 1

(a) Bestimme mit Hilfe des Applets das $95\mathrm{\%}$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit $X$ bei einer Bernoulli-Kette mit $n=200$ und $p=0.4$.

$95\mathrm{\%}$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit: $\cdots \le X\le \dots$.

(b) Deute das Ergebnis. Ergänze hierzu den folgenden Satz:

Wird eine Bernoulli-Kette mit $n=200$ und $p=0.4$ durchführt, dann ist zu erwarten, dass ....

Erarbeitung - Relative Häufigkeiten betrachten

Wir erhalten relative Trefferhäufigkeiten, indem wir absolute Trefferhäufigkeiten durch die Anzahl der durchgeführten Versuche dividieren. Die Anzahl der Versuche wird dabei durch die Länge $n$ der Bernoulli-Kette beschrieben.

Aufgabe 2

(a) Nutze das Ergebnis aus Aufgabe 1, um das $95\mathrm{\%}$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit $\frac{X}{n}$ bei einer Bernoulli-Kette mit $n=200$ und $p=0.4$ zu bestimmen.

$95\mathrm{\%}$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $\cdots \le \frac{X}{n}\le \dots$.

(b) Deute das Ergebnis. Ergänze hierzu den folgenden Satz:

Wird eine Bernoulli-Kette mit $n=200$ und $p=0.4$ durchführt, dann ist zu erwarten, dass ....

(c) Kontrolliere dein Ergebnis mit dem folgenden Applet:

Zum Herunterladen: prognoseintervalle2.ggb

Vertiefung - Formeln entwickeln

Prognoseintervalle für absolute Trefferhäufigkeiten werden meist mit Hilfe des Erwartungswerts $\mu =E(X)$ und Vielfachen der Standardabweichung $\sigma =\sigma (X)$ beschrieben:

$r\sigma$-Prognoseintervall für die absolute Trefferhäufigkeit: $\mu -r\cdot \sigma \le X\le \mu +r\cdot \sigma$

Die Vielfachen von $\sigma$ werden so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit der Prognoseintervalle ganz bestimmte Werte annimmt – die sogenannten Sicherheitswahrscheinlichkeiten.

Die entsprechenden Prognoseintervalle für relative Trefferhäufigkeiten mit denselben Sicherheitswahrscheinlichkeiten erhalten wir, indem wir die absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl $n$ der durchgeführten Versuche dividieren:

$r\sigma$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $\frac{\mu }{n}-r\cdot \frac{\sigma }{n}\le \frac{X}{n}\le \frac{\mu }{n}+r\cdot \frac{\sigma }{n}$

Aufgabe 3

(a) Begründe: $\frac{\mu }{n}=p$

(b) Begründe: $\frac{\sigma }{n}=\frac{\sqrt{p\cdot (1-p)}}{\sqrt{n}}$

(c) Begründe: Wir erhalten dann folgende Darstellung der Prognoseintervalle für relative Häufigkeiten:

$r\sigma$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit: $p-r\cdot \sqrt{p\cdot (1-p)}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\le \frac{X}{n}\le p+r\cdot \sqrt{p\cdot (1-p)}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$

(d) Bestimme mit dieser Formel das $95\mathrm{\%}$-Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit bei einer Bernoulli-Kette mit $n=200$ und $p=0.4$. Vergleiche mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2.

Vertiefung - Gesetzmäßigkeiten untersuchen

Hier geht es um folgende Frage: Wie ändert sich das Prognoseintervall für die relative Trefferhäufigkeit, wenn die Länge der Versuchsreihe $n$ wächst? Mit dem folgenden Applet kannst du das untersuchen.

Zum Herunterladen: prognoseintervalle3.ggb

Aufgabe 4

Betrachte eine Bernoulli-Kette mit fest vorgegebener Trefferwahrscheinlichkeit z. B. $p=0.5$.

(a) Bestimme für verschiedene $n$-Werte die Breite des $95\mathrm{\%}$-Prognoseintervalls und trage die Ergebnisse in die Tabelle ein.

(b) Ergänze folgende Regel:

Wird die Länge $n$ der Versuchsreihe vervierfacht, ...

(c) Erläutere die praktische Bedeutung der Regel.