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Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns jetzt mit folgender Fragestellung:

Leitfrage

In welchem Bereich liegt die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $1$ beim Pyramidenwürfel, wenn die Häufigkeit dieses Ergebnisses bei einer Versuchsreihe bekannt ist?

Vertrauensintervalle bestimmen

Betrachte folgende Ausgangssituation:

Bei einem Pyramidenwürfel ist unklar, mit welcher Wahrscheinlichkeit $p$ die Augenzahl $1$ fällt.
Um diese Wahrscheinlichkeit $p$ abzuschätzen, wird der Pyramidenwürfel in einer Versuchsreihe 100-mal geworfen. Diese Versuchsreihe kann dann als Bernoulli-Kette angesehen werden.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt wie üblich die Anzahl der Treffer. Als Treffer wird die Augenzahl $1$ gewertet.
In der betrachteten Versuchsreihe werden $41$ Treffer erhalten. Die absolute Trefferhäufigkeit beträgt also $X = 41$ , die relative Trefferhäufigkeit beträgt dann $\frac{X}{n} = 0.41$ (mit $n = 100$ ).

Mit dem folgenden Applet kannst du Bereiche für die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen.

Anleitung für das Applet

In den Eingabefeldern zur Versuchsreihe (rot dargestellt) kannst du die Parameter der betrachteten Versuchsreihe einstellen: die Länge $n$ der Versuchsreihe und die betrachtete Trefferhäufigkeit $X$ .
Die Versuchsreihe wird als Bernoulli-Kette angesehen. Ganz oben musst du die Länge $n$ der Bernoulli-Kette einstellen. Die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit $p$ kannst du mit dem Schieberegler für $p$ variieren.
Zusätzlich kannst du eine bestimmte Sicherheitswahrscheinlichkeit vorgeben: $90 %$ oder $95 %$ oder $99 %$ .
Das Applet zeigt dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ für die eingestellten Parameter der Bernoulli-Kette und verdeutlicht das Intervall zur eingestellten Sicherheitswahrscheinlichkeit. Die betrachtete Trefferhäufigkeit wird mit der roten Linie in der Grafik verdeutlicht.

Zum Herunterladen: vertrauensintervalle1.ggb

Aufgabe 1

Kontrolliere zunächst die im Applet vorgegebenen Einstellungen. Passt das alles so? Stelle ggf. die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ möglichst optimal ein.

Aufgabe 2

(a) Voreingestellt ist im Applet die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.44$ . Angenommen, das wäre die zum Pyramidenwürfel passende Trefferwahrscheinlichkeit.
Erkläre mit Hilfe der Daten im Applet folgendes: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.44$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90 %$ -Prognoseintervall.

(b) Gib weitere mögliche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ an, so dass gilt: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90 %$ -Prognoseintervall.

(c) Gib einen Werte für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ an, so dass gilt: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ nicht im $90 %$ -Prognoseintervall.

(d) Bestimme experimentell den Bereich für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ – auch $90 %$ -Vertrauensintervall genannt – für den gilt: Für jede Trefferwahrscheinlichkeit $p$ aus dem Vertrauensintervall liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90 %$ -Prognoseintervall.

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