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Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns jetzt mit folgender Fragestellung:

Leitfrage

In welchem Bereich liegt die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $1$ beim Pyramidenwürfel, wenn die Häufigkeit dieses Ergebnisses bei einer Versuchsreihe bekannt ist?

Vertrauensintervalle bestimmen

Betrachte folgende Ausgangssituation:

  • Bei einem Pyramidenwürfel ist unklar, mit welcher Wahrscheinlichkeit $p$ die Augenzahl $1$ fällt.
  • Um diese Wahrscheinlichkeit $p$ abzuschätzen, wird der Pyramidenwürfel in einer Versuchsreihe 100-mal geworfen. Diese Versuchsreihe kann dann als Bernoulli-Kette angesehen werden.
  • Die Zufallsgröße $X$ beschreibt wie üblich die Anzahl der Treffer. Als Treffer wird die Augenzahl $1$ gewertet.
  • In der betrachteten Versuchsreihe werden $41$ Treffer erhalten. Die absolute Trefferhäufigkeit beträgt also $X = 41$, die relative Trefferhäufigkeit beträgt dann $\frac{X}{n} = 0.41$ (mit $n = 100$).

Mit dem folgenden Applet kannst du Bereiche für die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen.

Anleitung für das Applet
  • In den Eingabefeldern zur Versuchsreihe (rot dargestellt) können die Parameter der betrachteten Versuchsreihe eingestellt werden: die Länge $n$ der Versuchsreihe und die betrachtete Trefferhäufigkeit $X$.
  • Die Versuchsreihe wird als Bernoulli-Kette angesehen. Ganz oben muss die Länge $n$ der Bernoulli-Kette eingestellt werden. Die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit $p$ kann mit dem Schieberegler für $p$ variiert werden.
  • Zusätzlich kann eine bestimmte Sicherheitswahrscheinlichkeit vorgegeben werden: $90\%$ oder $95\%$ oder $99\%$.
  • Das Applet zeigt dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ für die eingestellten Parameter der Bernoulli-Kette und verdeutlicht das Intervall zur eingestellten Sicherheitswahrscheinlichkeit. Die betrachtete Trefferhäufigkeit wird mit der roten Linie in der Grafik verdeutlicht.

Zum Herunterladen: vertrauensintervalle1.ggb

Aufgabe 1

Kontrolliere zunächst die im Applet vorgegebenen Einstellungen. Passt das alles so? Stelle ggf. die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ möglichst optimal ein.

Aufgabe 2

(a) Voreingestellt ist im Applet die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.44$. Angenommen, das wäre die zum Pyramidenwürfel passende Trefferwahrscheinlichkeit. Erkläre mit Hilfe der Daten im Applet: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.44$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90\%$-Prognoseintervall.

(b) Gib weitere mögliche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ an, so dass gilt: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90\%$-Prognoseintervall.

(c) Gib einen Werte für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ an, so dass gilt: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ nicht im $90\%$-Prognoseintervall.

(d) Bestimme experimentell den Bereich für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ – auch $90\%$-Vertrauensintervall genannt, für den gilt: Für jede Trefferwahrscheinlichkeit $p$ aus dem Vertrauensintervall liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90\%$-Prognoseintervall.

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