Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir beschäftigen uns jetzt mit folgender Fragestellung:
Leitfrage
In welchem Bereich liegt die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $1$ beim Pyramidenwürfel, wenn die Häufigkeit dieses Ergebnisses bei einer Versuchsreihe bekannt ist?
Vertrauensintervalle bestimmen
Betrachte folgende Ausgangssituation:
- Bei einem Pyramidenwürfel ist unklar, mit welcher Wahrscheinlichkeit $p$ die Augenzahl $1$ fällt.
- Um diese Wahrscheinlichkeit $p$ abzuschätzen, wird der Pyramidenwürfel in einer Versuchsreihe 100-mal geworfen. Diese Versuchsreihe kann dann als Bernoulli-Kette angesehen werden.
- Die Zufallsgröße $X$ beschreibt wie üblich die Anzahl der Treffer. Als Treffer wird die Augenzahl $1$ gewertet.
- In der betrachteten Versuchsreihe werden $41$ Treffer erhalten. Die absolute Trefferhäufigkeit beträgt also $X = 41$, die relative Trefferhäufigkeit beträgt dann $\frac{X}{n} = 0.41$ (mit $n = 100$).
Mit dem folgenden Applet kannst du Bereiche für die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen.
Anleitung für das Applet
- In den Eingabefeldern zur Versuchsreihe (rot dargestellt) kannst du die Parameter der betrachteten Versuchsreihe einstellen: die Länge $n$ der Versuchsreihe und die betrachtete Trefferhäufigkeit $X$.
- Die Versuchsreihe wird als Bernoulli-Kette angesehen. Ganz oben musst du die Länge $n$ der Bernoulli-Kette einstellen. Die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit $p$ kannst du mit dem Schieberegler für $p$ variieren.
- Zusätzlich kannst du eine bestimmte Sicherheitswahrscheinlichkeit vorgeben: $90\%$ oder $95\%$ oder $99\%$.
- Das Applet zeigt dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ für die eingestellten Parameter der Bernoulli-Kette und verdeutlicht das Intervall zur eingestellten Sicherheitswahrscheinlichkeit. Die betrachtete Trefferhäufigkeit wird mit der roten Linie in der Grafik verdeutlicht.
Zum Herunterladen: vertrauensintervalle1.ggb
Aufgabe 1
Kontrolliere zunächst die im Applet vorgegebenen Einstellungen. Passt das alles so? Stelle ggf. die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ möglichst optimal ein.
Aufgabe 2
(a) Voreingestellt ist im Applet die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.44$. Angenommen, das wäre die zum Pyramidenwürfel passende Trefferwahrscheinlichkeit.
Erkläre mit Hilfe der Daten im Applet folgendes: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0.44$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90\%$-Prognoseintervall.
(b) Gib weitere mögliche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ an, so dass gilt: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90\%$-Prognoseintervall.
(c) Gib einen Werte für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ an, so dass gilt: Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ nicht im $90\%$-Prognoseintervall.
(d) Bestimme experimentell den Bereich für die Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ – auch $90\%$-Vertrauensintervall genannt – für den gilt: Für jede Trefferwahrscheinlichkeit $p$ aus dem Vertrauensintervall liegt die absolute Häufigkeit $X = 41$ im $90\%$-Prognoseintervall.
