Überprüfung - Vertrauensintervalle für Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1
In einer Untersuchung aus dem Jahr 2021 gaben $162$ von $686$ befragten Jugendlichen im Alter von 16-17 Jahre an, über eigene Erfahrung mit dem Konsum von E-Zigaretten zu verfügen.
(a) K. behauptet: „$23.6\%$ aller Jugendlichen in Deutschland im Alter von 16-17 Jahre haben bereits Erfahrungen mit dem Konsum von E-Zigaretten gemacht.“ Was ist an dieser Aussage zu bemängeln?
(b) L. behauptet: „Circa $24\%$ aller Jugendlichen in Deutschland im Alter von 16-17 Jahre haben bereits Erfahrungen mit dem Konsum von E-Zigaretten gemacht.“ Warum passt diese Aussage besser zur Datenlage?
(c) M. behauptet: „Der Anteil aller Jugendlichen in Deutschland im Alter von 16-17 Jahre mit Erfahrungen mit E-Zigaretten kann noch präziser abgeschätzt werden.“ Wie geht das? Nutze das Applet und erstelle geeignete Abschätzungen für ein $95\%$-Sicherheintsniveau und ein ein $99\%$-Sicherheintsniveau.
(d) N. behauptet: „Wenn es noch genauer bestimmt werden soll, dann müsste ....“ Ergänze die Aussage und verdeutliche sie anhand konkreter Zahlenwerte.
Zum Herunterladen: vertrauensintervalle2.ggb
Kontrolle
(a) Das ist eine unzulässige Verallgemeinerung. Hier wird der Anteil in der Stichprobe unzulässigerweise direkt auf die Gesamtheit übertragen.
(b) Mit dem Zusatz „circa“ wird hier angedeutet, dass die Übertragung von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit mit stastischen Unsicherheiten verbunden ist.
(c) Hierzu werden Vertrauensintervalle für den gesuchten Anteil $p$ bestimmt.
- $95\%$-Sicherheintsniveau: $21\% \leq p \leq 26\%$
- $99\%$-Sicherheintsniveau: $20\% \leq p \leq 28\%$
(d) Werden mehr Jugendliche befragt, also der Stichprobenumfang erhöht, dann werden auch genauere Prognoseintervalle gewonnen.
Beispiel: Wir verdoppeln die Anzahlen und gehen davon aus, dass $324$ von $1372$ Jugendlichen angeben, über eigene Erfahrung mit dem Konsum von E-Zigaretten zu verfügen. Für ein $95\%$-Sicherheintsniveau folgt dann folgende Abschätzung: $22\% \leq p \leq 25\%$
