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Vertiefung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns weiterhin mit folgender Fragestellung:

Leitfrage

In welchem Bereich liegt die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $1$ beim Pyramidenwürfel, wenn die Häufigkeit dieses Ergebnisses bei einer Versuchsreihe bekannt ist?

Vertrauensintervalle bestimmen

Betrachte weiterhin folgende Ausgangssituation:

Bei einem Pyramidenwürfel ist unklar, mit welcher Wahrscheinlichkeit $p$ die Augenzahl $1$ fällt.
Um diese Wahrscheinlichkeit $p$ abzuschätzen, wird der Pyramidenwürfel in einer Versuchsreihe 100-mal geworfen. Diese Versuchsreihe kann dann als Bernoulli-Kette angesehen werden.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt wie üblich die Anzahl der Treffer. Als Treffer wird die Augenzahl $1$ gewertet.
In der betrachteten Versuchsreihe werden $41$ Treffer erhalten. Die absolute Trefferhäufigkeit beträgt also $X = 41$ , die relative Trefferhäufigkeit beträgt dann $\frac{X}{n} = 0.41$ (mit $n = 100$ ).

Mit dem folgenden Applet kannst du Bereiche für die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen.

Anleitung für das Applet

In den Eingabefeldern zur Versuchsreihe (rot dargestellt) kannst du die Parameter der betrachteten Versuchsreihe einstellen: die Länge $n$ der Versuchsreihe und die betrachtete Trefferhäufigkeit $X$ .
Die Versuchsreihe wird als Bernoulli-Kette angesehen. Ganz oben musst du die Länge $n$ der Bernoulli-Kette einstellen. Die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit $p$ kannst du mit dem Schieberegler für $p$ variieren.
Zusätzlich kannst du eine bestimmte Sicherheitswahrscheinlichkeit vorgeben: $90 %$ oder $95 %$ oder $99 %$ .
Das Applet zeigt dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ für die eingestellten Parameter der Bernoulli-Kette und verdeutlicht das Intervall zur eingestellten Sicherheitswahrscheinlichkeit. Die betrachtete Trefferhäufigkeit wird mit der roten Linie in der Grafik verdeutlicht.

Zum Herunterladen: vertrauensintervalle1.ggb

Aufgabe 1

(a) Stelle die Sicherheitswahrscheinlichkeit $95 %$ ein. Bestimme experimentell das $95 %$ -Vertrauensintervall für $p$ .

(b) Stelle die Sicherheitswahrscheinlichkeit $99 %$ ein. Bestimme experimentell das $99 %$ -Vertrauensintervall für $p$ .

Aufgabe 2

(a) Begründe, warum bei einer größeren Sicherheitswahrscheinlichkeit auch ein (in der Regel) größeres Vertrauensintervall für $p$ erhalten wird.

(b) Warum wird $p$ nicht vertraut, wenn $p$ nicht in einem Vertrauensintervall zu einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit liegt? Begründe kurz.

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