Übungen - Prognoseintervalle für Häufigkeiten

Aufgabe 1

Betrachte folgende Situation: Ein Standardwürfel wird 300-mal geworfen.

Zum Herunterladen: wuerfelnSWVersuchsreihe2.ggb

(a) Begründe, dass die Würfelserie als Bernoulli-Kette angesehen werden kann. Bestimme die Parameter dieser Bernoulli-Kette (für die verschiedenen Trefferfestlegungen).

(b) Wie oft ist zu erwarten, dass die Augenzahlen in der Würfelserie vorkommen. Schätze diese Häufigkeit ab mit Hilfe des Erwartungswerts der Zufallsgröße $X$, mit der die Trefferanzahl (bzw. absolute Trefferhäufigkeit) erfasst wird.

(c) Formuliere spontane Vermutungen (aus dem Bauch heraus), ab welcher Häufigkeiten der Würfel als gezinkt angesehen werden würde.

(d) Das folgende Applet hilft dir dabei, Prognoseintervalle zu bestimmen.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_kumuliert2.ggb

Bestimme jeweils ein Prognoseintervall für die vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeiten. Achte darauf, dass der Erwartungswert $\mu = E(X)$ genau in der Mitte des jeweiligen Intervalls liegt.

Sicherheitswahrscheinlichkeit	Prognoseintervall
$90\%$	$\dots \leq X \leq \dots$
$95\%$	$\dots \leq X \leq \dots$
$99\%$	$\dots \leq X \leq \dots$

(e) Prognoseintervalle werden meist mit Hilfe des Erwartungswerts $\mu = E(X)$ und Vielfachen der Standardabweichung $\sigma = \sigma(X)$ beschrieben. Das folgende Applet liefert Progonseintervalle für die gängigen Sicherheitswahrscheinlichkeiten.

Zum Herunterladen: prognoseintervalle1.ggb

Bestimme die fehlenden Intervallgrenzen in der Tabelle. Vergleiche die Ergebnisse mit denen in Aufgabenteil (d).

Abweichung vom Erwartungswert	Prognoseintervall
$1.64\sigma$	$\dots \leq X \leq \dots$
$1.96\sigma$	$\dots \leq X \leq \dots$
$2.58\sigma$	$\dots \leq X \leq \dots$

(f) Nutze die Ergebnisse in Aufgabenteil (e), um Prognoseintervalle für die relativen Häufigkeiten der Trefferanzahlen zu bestimmen. Beachte, dass diese durch $\frac{X}{n}$ mit dem passendem Wert für $n$ beschrieben werden.

Abweichung vom Erwartungswert	Prognoseintervall
$1.64\sigma$	$\dots \leq \frac{X}{n} \leq \dots$
$1.96\sigma$	$\dots \leq \frac{X}{n} \leq \dots$
$2.58\sigma$	$\dots \leq \frac{X}{n} \leq \dots$

(g) Betrachte abschließend die oben im Applet gezeigte Würfelserie mit 300 Würfelwürfen. Nutze die in den Aufgabenteilen bestimmten Prognoseintervalle, um die Ergebnisse der Würfelserie einzuschätzen.

Aufgabe 2

In einer Urne befinden sich angeblich $2$ rote und $3$ weiße Kugeln. Aus der Urne wird 100-mal eine Kugel gezogen und dann wieder in die Urne zurückgelegt. Als Treffer wird eine rote Kugel angesehen.

(a) Begründe, dass diese Versuchsreihe als Bernoulli-Kette angesehen werden kann. Bestimme die Parameter dieser Bernoulli-Kette.

(b) Wie oft ist zu erwarten, dass die rote Kugel in der Würfelserie vorkommt. Schätze diese Häufigkeit mit Hilfe des Erwartungswerts der Zufallsgröße $X$, mit dem die Trefferanzahl (bzw. absolute Trefferhäufigkeit) erfasst wird, ab.

(c) Formuliere spontane Vermutungen (aus dem Bauch heraus), ab welcher Häufigkeiten die Angaben zur Urne bezweifelt werden würde.

(d) Das folgende Applet hilft dir dabei, Prognoseintervalle zu bestimmen.

Zum Herunterladen: binomialverteilung_kumuliert2.ggb

Bestimme jeweils ein Prognoseintervall für die vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeiten. Achte darauf, dass der Erwartungswert $\mu = E(X)$ genau in der Mitte des jeweiligen Intervalls liegt.

Sicherheitswahrscheinlichkeit	Prognoseintervall
$90\%$	$\dots \leq X \leq \dots$
$95\%$	$\dots \leq X \leq \dots$
$99\%$	$\dots \leq X \leq \dots$

(e) Prognoseintervalle werden meist mit Hilfe des Erwartungswerts $\mu = E(X)$ und Vielfachen der Standardabweichung $\sigma = \sigma(X)$ beschrieben. Das folgende Applet liefert Progonseintervalle für die gängigen Sicherheitswahrscheinlichkeiten.

Zum Herunterladen: prognoseintervalle1.ggb

Bestimme die fehlenden Intervallgrenzen in der Tabelle. Vergleiche die Ergebnisse mit denen in Aufgabenteil (d).

Abweichung vom Erwartungswert	Prognoseintervall
$1.64\sigma$	$\dots \leq X \leq \dots$
$1.96\sigma$	$\dots \leq X \leq \dots$
$2.58\sigma$	$\dots \leq X \leq \dots$

(f) Nutze die Ergebnisse in Aufgabenteil (e), um Prognoseintervalle für die relativen Häufigkeiten der Trefferanzahlen zu bestimmen. Beachte, dass diese durch $\frac{X}{n}$ mit dem passendem Wert für $n$ beschrieben werden.

Abweichung vom Erwartungswert	Prognoseintervall
$1.64\sigma$	$\dots \leq \frac{X}{n} \leq \dots$
$1.96\sigma$	$\dots \leq \frac{X}{n} \leq \dots$
$2.58\sigma$	$\dots \leq \frac{X}{n} \leq \dots$

(g) Vergleiche die Ergebnisse zu den Prognoseintervalle mit deinen Vermutungen in Aufgabenteil (c).

Aufgabe 3

Für eine Studie wurden strichprobenartig 1200 Menschen aus der Gesamtheit aller Menschen in Deutschland zufällig ausgewählt. Die Tabelle zeigt, wie viele es in den jeweiligen Altergruppen sind. Zusätzlich sind in der Tabelle die Anteile der Altersgruppen an der Grundgesamtheit in Deutschland aufgeführt.

Bei der Veröffentlichung der Studie kamen Zweifel auf, dass die Altersgruppen möglicherweise nicht ihren Anteilen gemäß adäquat berücksichtigt worden sind.

Untersuche, ob die Aufteilung der Altersgruppen in der Stichprobe signifikant von der Altersaufteilung in der Grundgesamtheit abweicht. Bestimme hierzu passende Prognoseintervalle für eine $95\%$-Sicherheitswahrscheinlichkeit. Formuliere ein Fazit.

Altersgruppe	Anteil in Deutschland	Anzahl in der Stichprobe
unter 20	$18.8$	$160$
20-40	$14.5$	$320$
40-60	$27.3$	$380$
60-80	$22.2$	$280$
über 80	$7.2$	$60$

Aufgabe 4

Nach Veröffentlichungen des Statista Research Departement sind die Haushalte in Deutschland wie folgt ausgestattet: (siehe Statistiken zum Thema Haushaltsgeräte):

• Kühlschrank: $99.9 \%$
• Waschmaschine: $96.2 \%$
• Kaffeemaschine: $80 \%$
• Spülmaschine: $75 \%$

Eine Stichprobe vom Umfang $720$ wird durchgeführt.

Bestimme Prognoseintervalle, in denen die Anzahl an jeweiligen Küchengeräte mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $90 \%$ liegen wird.