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Strukturierung - Vertrauensintervalle für Wahrscheinlichkeiten

Einstieg - Orientierung

Im letzten Abschnitt hast du bereits Vertrauensintervalle für die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette für vorgegebene Sicherheitswahrscheinlichkeiten bestimmt. Betrachtet wurde dabei die unbekannte Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $1$ bei einem Pyramidenwürfel.
Wir wiederholen die Vorgehensweise hier verallgemeinernd und führen dabei Fachbegriffe ein. Es geht dabei um folgende Fragestellung:

Leitfrage

Wie können bei Bernoulli-Ketten mit unbekannter Trefferwahrscheinlichkeit aus einer gegebenen Trefferhäufigkeit bei einer Durchführung der Bernoulli-Kette möglichst verlässliche Intervalle für die Trefferwahrscheinlichkeit bestimmt werden?

Erarbeitung - Vertrauensintervalle experimentell ermitteln

Wir gehen von folgender Situation aus:

Wir betrachten eine Bernoulli-Kette mit bekannter Länge $n$ (im Applet: $n = 50$ ) und unbekannter Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .
Bei einer Durchführung der Bernoulli-Kette wird eine absolute Trefferhäufigkeit $X = k$ erhalten (im Applet: $X = 22$ ).
Mit Hilfe der Trefferhäufigkeit $X = k$ möchten wir die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit $p$ abschätzen.
Die Sicherheitswahrscheinlichkeit soll dabei einen vorgegebenen Standardwert betragen (im Applet $95 %$ ).

Zum Herunterladen: vertrauensintervalle1.ggb

Eine Punktabschätzung für die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ folgt direkt aus der relativen Trefferhäufigkeit $\frac{X}{n}$ :

$p = \frac{k}{n}$

Hier gilt: $p = \frac{k}{n} = \frac{22}{50} = 0.44$

Bei einer Intervallabschätzung für die Trefferwahrscheinlichkeit wird ein Bereich für die Trefferwahrscheinlichkeit bestimmt, für den die betrachtete Trefferhäufigkeit nicht unwahrscheinlich ist.
Dabei wird von einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit (wie z. B. $95 %)$ ausgegangen.

Ein Wert für $p$ heißt verträglich mit der betrachteten Häufigkeit $X = k$ , wenn die betrachtete Häufigkeit $X = k$ im Prognoseintervall (zur vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit) liegt.

Das Vertrauensintervall (auch Konfidenzintervall genannt) zur betrachteten Häufigkeit $X = k$ umfasst alle Werte für $p$ , die mit $X = k$ (für die vorgegebene Sicherheitswahrscheinlichkeit) verträglich sind.

Aufgabe 1

(a) Ergänze in der Tabelle die passenden $95 %$ -Prognoseintervalle für die absolute Trefferhäufigkeit $X$ und ermittle jeweils, ob die betrachtete Trefferhäufigkeit $X = 22$ in diesem Intervall liegt.

betrachteter $p$ -Wert	$95 %$ -Prognoseintervall für die Trefferhäufigkeit $X$	Verträglichkeit von $p$ mit $X = k$
$p = 0.30$	$9 \leq X \leq 21$	$X = 22$ liegt nicht im $95 %$ -Prognoseintervall
$p = 0.31$
$p = 0.32$
$p = 0.33$
$\dots$
$p = \dots$		$X = 22$ liegt im $95 %$ -Prognoseintervall
$p = \dots$		$X = 22$ liegt nicht im $95 %$ -Prognoseintervall

(b) Formuliere das Ergebnis mit dem Begriff Vertrauensintervall.

Das $95 %$ -Vertrauensintervall für $p$ zur Trefferhäufigkeit $X = 22$ beträgt: $\dots \leq p \leq \dots$ .

Vertiefung - Vertrauensintervalle rechnerisch bestimmen

Wir gehen weiterhin von folgender Situation aus:

Wir betrachten eine Bernoulli-Kette mit bekannter Länge $n$ (im Applet: $n = 50$ ) und unbekannter Trefferwahrscheinlichkeit $p$ .
Bei einer Durchführung der Bernoulli-Kette wird eine absolute Trefferhäufigkeit $X = k$ erhalten (im Applet: $X = 22$ ).
Mit Hilfe der Trefferhäufigkeit $X = k$ möchten wir die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit $p$ abschätzen.
Die Sicherheitswahrscheinlichkeit soll dabei einen vorgegebenen Standardwert betragen (im Applet $95 %$ ).

Ein Vertrauensintervall für $p$ zur Trefferhäufigkeit $X = k$ kann auch mit Hilfe der relativen Trefferhäufigkeit $\frac{k}{n}$ bestimmt werden.
Es werden dann Prognoseintervalle für die relative Trefferhäufigkeit $\frac{X}{n}$ verwendet. Das Vorgehen ist völlig analog zum Vorgehen mit absoluten Trefferhäufigkeiten.

Zum Herunterladen: vertrauensintervalle2.ggb

Aufgabe 2

Vergewissere dich am Applet, dass mit Hilfe relativer Häufigkeiten dasselbe $95 %$ -Prognoseintervalle für die betrachtete Trefferhäufigkeit $X = 22$ erhalten wird.

Aufgabe 3

Im Applet sind auch bereits Formeln für die Grenzen der jeweils betrachteten Prognoseintervalle angegeben.

(a) Erkläre, wie diese Formeln für die Prognoseintervallgrenzen erhalten werden.

(b) Das folgende Applet zeigt, wie eine der Vertrauensintervallgrenzen rechnerisch (hier mit Hilfe eines Tools zum Lösen von Gleichungen) bestimmt werden kann.

Zum Herunterladen: vertrauensintervalle3_cas.ggb

Erkläre erst, wie die betrachtete Gleichung erhalten wird. Bestimme anschließend analog die andere Vertrauensintervallgrenzen. Ändere hierzu die Gleichung passend ab und lasse sie dir von GeoGebra lösen.

(c) Vergleiche die rechnerisch ermittelten Vertrauensintervallgrenzen mit den oben experimentell bestimmten Vertrauensintervallgrenzen.