Anwendung - Schluss von einer Stichprobe auf die Gesamtheit

Zur Orientierung

Folgende Situation kommt oft in unserer Lebenswelt vor: Wir möchten abschätzen, wie groß der Anteil an einer Grundgesamtheit ist, der eine bestimmte Eigenschaft – das wird als Treffer betrachtet – hat. Um dies herauszufinden, wird stichprobenartig eine Teilmenge der Grundgesamtheit untersucht.
Ziel ist es dann, mit den Ergebnissen für die Teilmenge den unbekannten Anteil an der Grundgesamtheit abzuschätzen.

Ein Beispiel betrachten

Als Beispiel betrachten wir eine Befragung zum Wahlverhalten:

Welcher Partei würden Sie bei der nächsten Wahl ihre Stimme geben?

[1]

Vor Wahlen finden immer Umfragen statt, in denen ein Teil der Bevölkerung nach ihrem beabsichtigten Wahlverhalten befragt wird. Die Befragungsinstitute versuchen dann, ausgehend von den Ergebnissen dieser Stichprobe auf das Wahlverhalten der gesamten Bevölkerung zu schließen.

Wir spielen diesen Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit hier mit konkreten Daten durch.

Die Stichprobe ist eine Umfrage von $512$ zufällig gewählten (wahlberechtigten) Personen. $122$ von diesen Personen geben an, dass sie bei der anstehenden Wahl der Partei X ihre Stimme geben wollen.

Ziel ist es, folgende Frage zu klären:

Aufgabe 1

Untersuche die Problemfrage für ein $95\mathrm{\%}$-Sicherheitsniveau.
Kläre zunächst, warum die Stichprobe als Bernoulli-Kette angesehen werden kann.
Bestimme dann ein Vertrauensintervall für die gesuchte Wahrscheinlichkeit (dass ein Wähler der Partei X seine Stimme geben will).
Dokumentiere alle Überlegungen und Ergebnisse.

Zum Herunterladen: vertrauensintervalle2.ggb

Aufgabe 2

„Das ist mir noch zu ungenau. Die Spanne beträgt ja noch $6\mathrm{\%}$. Geht das nicht genauer?“

Das Befragungsinstitut befragt nochmal $512$ Personen. Dieses Mal geben $110$ Befragte an, die Partei X wählen zu wollen.
Ingesamt haben also jetzt $232$ von $1024$ Personen angegeben, der Partei X ihre Stimme geben zu wollen.

Bestimme auch für diese neue Datenlage ein $95\mathrm{\%}$-Vertrauensintervall für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Aufgabe 3

„Das ist schon viel genauer. Kann die Befragung auch so durchgeführt werden, dass die maximale Abweichung von der gesuchten Wahrscheinlichkeit nur $1\mathrm{\%}$ beträgt?“

Die Mathematiker des Befragungsinstituts stellen folgende Bedingung auf:

$1.96\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}}\le 0.01$

(a) Begründe, warum diese Bedingung zur Forderung passt.

(b) Die Auswertung der Bedingung ist nicht ganz einfach. Erläutere die folgenden Überlegungen:

Quadrieren liefert:

${1.96}^2\frac{p\cdot (1-p)}{n}\le {0.01}^2$

Auflösen nach $n$ ergibt:

$n\ge \frac{{1.96}^2}{{0.01}^2}\cdot p\cdot (1-p)$

Es gilt $p\cdot (1-p)\le 0.25$ (für alle $p$ mit $0\le p\le 1$). Also:

$\frac{{1.96}^2}{{0.01}^2}\cdot \underset{\le 0.25}{\underbrace{p\cdot (1-p)}}\le \frac{{1.96}^2}{{0.01}^2}\cdot 0.25=9604$

Für $n=9604$ gilt demnach:

$n=\underset{9604}{\underbrace{\frac{{1.96}^2}{{0.01}^2}\cdot 0.25}}\ge \frac{{1.96}^2}{{0.01}^2}\cdot p\cdot (1-p)$

(c) Formuliere ein Ergebnis.