Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir beschäftigen uns mit folgender Fragestellung:

Eine Zufallsgröße einführen

Wir betrachten die Ausgangssituation in einer Spielrunde beim Spiel chuck a luck. Der/die Spieler(in) hat eine Spielzahl gewählt, z. B. die Spielzahl 4. Dann wirft sie/er die drei Würfel. Wir beschreiben das Zufallsexperiment in der üblichen Weise:

Realität	Modell
Zufallsexperiment: drei Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der Würfel beobachten
Ergebnisse: 111: erster Würfel eine 1, zweiter Würfel eine 1, dritter Würfel eine 1 $\dots$	Ergebnismenge: $\Omega = \{ 111, \dots, 666 \}$
Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.	Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(e) = \frac{1}{216}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$

Als Spieler(in) liegt das Interesse am Gewinn bei diesem Zufallsexperiment. Diesen Gewinn erfassen wir mit der Zufallsgröße $X$:
Die Zufallsgröße $X$ ordnet dem Würfelergebnis bei vorgegebener Spielzahl den Gewinn (d. h. die Anzahl der gewonnenen Münzen) zu. Der Verlust einer Münze wird dabei als negativer Gewinn gewertet.

Realität	Modell
Zufallsgröße: Gewinn bei einer vorgegebenen Spielzahl (z. B. $4$)	Zufallsgröße: $X: 126 \rightarrow \dots$ $X: 433 \rightarrow \dots$ $X: 244 \rightarrow \dots$ $X: 444 \rightarrow \dots$
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Der Gewinn kann je nach Anzahl der Treffer -1, 1, 2 oder 3 betragen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten erhalten wir durch Abzählen der passenden Würfelkombinationen.	Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$: $P(X = -1) = \displaystyle{\frac{\dots}{216}}$ $P(X = 1) = \displaystyle{\frac{\dots}{216}}$ $P(X = 2) = \displaystyle{\frac{\dots}{216}}$ $P(X = 3) = \displaystyle{\frac{\dots}{216}}$

Aufgabe 1

Ergänze in der Übersicht die mit $\dots$ markierten Stellen.

(a) Ergänze die Zuordnungsbeispiele für die Spielzahl $4$.

(b) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.

Zur Kontrolle

• $X = -1$:
  Alle drei Würfel müssen eine Augenzahl zeigen, die nicht mit der Spielzahl übereinstimmt. Da es für jeden Würfel $5$ Möglichkeiten gibt, sind hier $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ Möglichkeiten vorhanden.
• $X = 1$:
  Eines der drei Würfelergebnisse muss mit der Spielzahl übereinstimmen, die beiden anderen dagegen nicht. Dabei sind $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$ Möglichkeiten vorhanden.
• $X = 2$:
  Zwei der drei Würfelergebnisse müssen mit der Spielzahl übereinstimmen, das verbleibende dagegen nicht. Es gibt $3$ Möglichkeiten, die beiden Treffer-Würfel auszuwählen. Jede dieser $3$ Würfelkombinationen kann mit den $5$ Möglichkeiten für den Nicht-Treffer-Würfel kombiniert werden. So sind hier $3 \cdot 5 = 15$ Möglichkeiten vorhanden.
• $X = 3$:
  Es gibt nur $1$ Möglichkeit für den Fall, dass man $3$ Treffer erzielt.

Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße $X$:

$a$	$-1$	$1$	$2$	$3$
$P(X = a)$	$\displaystyle{\frac{125}{216}}$	$\displaystyle{\frac{75}{216}}$	$\displaystyle{\frac{15}{216}}$	$\displaystyle{\frac{1}{216}}$

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung ist nicht von der gewählten Spielzahl abhängig. Es kommt ja jeweils nur auf die Anzahl der Treffer an.

Einen mittleren Gewinn bestimmen

Das folgende Applet zum Spiel chuck a luck erzeugt eine Statistik über die erzielten Gewinne bei der wiederholten Durchführung des Spiels. Mit $H(a)$ wird die absolute Häufigkeit beschrieben, mit $h(a)$ die relative Häufigkeit.

Zum Herunterladen: ew_zg_chuckaluck.ggb

Aufgabe 2

Betrachte eine mögliche Häufigkeitsverteilung für die Werte von $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments:

$a$	$-1$	$1$	$2$	$3$
$H(a)$	$6$	$3$	$1$	$0$

(a) Wie oft wurde das Spiel hier durchgeführt? Gib eine mögliche Abfolge der Gewinne (bzw. der Werte von $X$) an, die zu dieser Häufigkeitsveteilung führt.
Erstelle auch eine Tabelle mit den zugehörigen relativen Häufigkeiten.

(b) Berechne den mittleren Gewinn pro Spiel (bzw. den Mittelwert bei dieser Häufigkeitsverteilung) auf zwei Arten. Benutze zum einen die absoluten Häufigkeiten, zum anderen die relativen Häufigkeiten.

Zur Kontrolle

Mittelwert:

$\displaystyle{\frac{6 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{10}} = \displaystyle{\frac{-1}{10}} = -0.1$

$ \displaystyle{\frac{6}{10}} \cdot (-1) + \displaystyle{\frac{3}{10}} \cdot 1 + \displaystyle{\frac{1}{10}} \cdot 2 + \displaystyle{\frac{0}{10}} \cdot 3 = -0.1$

Den erwarteten Gewinn abschätzen

Mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ kannst du jetzt den erwarteten Gewinn bei einer vorgegebenen Anzahl $N$ von Spielrunden abschätzen.

Aufgabe 3

Ziel ist es, eine Prognose für $N = 2160$ Spielrunden zu erstellen.

(a) In der folgenden Übersicht ist bereits ein Wert eingetragen. Erkläre, wie er zustande kommt. Ergänze die fehlenden Werte in der Übersicht.

mögliche Gewinne	$-1$	$1$	$2$	$3$
erwartete absolute Häufigkeit				$10$
erwartete relative Häufigkeit

(b) Benutze die Einträge in der Tabelle, um den erwarteten Gewinn pro Spiel abzuschätzen.

Erwarteter mittlerer Gewinn pro Spiel bei $N = 2160$ Spielrunden:

$g = \dots$

Zur Kontrolle

$G = 1250 \cdot (-1) + 750 \cdot 1 + 150 \cdot 2 + 10 \cdot 3 = -170$

$g = \displaystyle{\frac{1250 \cdot (-1) + 750 \cdot 1 + 150 \cdot 2 + 10 \cdot 3}{2160}} = \displaystyle{\frac{-170}{2160}} \approx -0.08$

$g = \displaystyle{\frac{125}{216}} \cdot (-1) + \displaystyle{\frac{75}{216}} \cdot 1 + \displaystyle{\frac{15}{216}} \cdot 2 + \displaystyle{\frac{1}{216}} \cdot 3 \approx -0.08$

Aufgabe 4

Erstelle analog eine Prognose für $N = 21600$ Spielrunden.