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Zusammenfassung - Erwartungswert einer Zufallsgröße

Ein Beispiel

Wir betrachten des Zufallsexperiment „Werfen von zwei Würfeln“. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Augendifferenz der beiden Würfel.

Zum Herunterladen: ew_zg_differenz.ggb

Wir beschäftigen uns mit folgender Fragestellung:

Leitfrage

Wie wird der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments bestimmt?

Zunächst betrachten wir eine konkrete Serie von Werten von $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments:

$1, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 5, 1$

Folgende Häufigkeitsverteilungen werden erhalten:

mögliche Werte von $X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
absolute Häufigkeiten $0$ $3$ $2$ $4$ $0$ $1$
relative Häufigkeiten $\frac{0}{10}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{2}{10}$ $\frac{4}{10}$ $\frac{0}{10}$ $\frac{1}{10}$

Der Mittelwert dieser Werte wird wie folgt berechnet:

$ \displaystyle{\frac{0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5}{10}} = \\ \displaystyle{\frac{0}{10}} \cdot 0 + \displaystyle{\frac{3}{10}} \cdot 1 + \displaystyle{\frac{2}{10}} \cdot 2 + \displaystyle{\frac{4}{10}} \cdot 3 + \displaystyle{\frac{0}{10}} \cdot 4 + \displaystyle{\frac{1}{10}} \cdot 5= \\ 2.3$

Zur Herleitung einer Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments gehen wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ aus.

$k$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$P(X = k)$ $\displaystyle{\frac{6}{32}}$ $\displaystyle{\frac{10}{32}}$ $\displaystyle{\frac{8}{32}}$ $\displaystyle{\frac{6}{32}}$ $\displaystyle{\frac{4}{32}}$ $\displaystyle{\frac{2}{32}}$

Wenn das Zufallsexperiment $N$-mal durchgeführt wird, werden folgende erwartete Häufigkeiten der möglichen Werte von $X$ erhalten:

mögliche Werte von $X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
erwartete absolute Häufigkeiten $N \cdot \frac{6}{32}$ $N \cdot \frac{10}{32}$ $N \cdot \frac{8}{32}$ $N \cdot \frac{6}{32}$ $N \cdot \frac{4}{32}$ $N \cdot \frac{2}{32}$
erwartete relative Häufigkeiten $\frac{6}{32}$ $\frac{10}{32}$ $\frac{8}{32}$ $\frac{6}{32}$ $\frac{4}{32}$ $\frac{2}{32}$

Den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei $N$ Wiederholungen des Zufallsexperiments wird wie folgt bestimmt:

$ \underbrace{\frac{6}{32}}_{P(X = 0)} \cdot 0 + \underbrace{\frac{10}{32}}_{P(X = 2)} \cdot 1 + \underbrace{\frac{8}{32}}_{P(X = 2)} \cdot 2 + \underbrace{\frac{6}{32}}_{P(X = 3)} \cdot 3 + \underbrace{\frac{4}{32}}_{P(X = 4)} \cdot 4 + \underbrace{\frac{2}{32}}_{P(X = 5)} \cdot 5 = \frac{70}{32} \approx 2.2$

Der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wird berechnet, indem die möglichen Werte von $X$ mit den erwarteten relativen Häufigkeiten (das sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten) multipliziert und diese Produkte aufsummiert werden.

Verallgemeinerung

Die Überlegungen zum Beispiel oben können völlig analog für eine beliebige Zufallsgröße $X$ zu einem Zufallsexperiment durchgeführt werden.

Es wird von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ausgegangen.

a $x_1$ $x_2$ $\dots$ $x_n$
P(a) $P(X = x_1)$ $P(X = x_1)$ $\dots$ $P(X = x_n)$

Der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wird berechnet, indem die möglichen Werte von $X$ mit den erwarteten relativen Häufigkeiten (das sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten) multipliziert und diese Produkte aufsummiert werden:

$P(X = x_1) \cdot x_1 + P(X = x_2) \cdot x_2 + \cdots + P(X = x_n) \cdot x_n$

Dieser erwartete mittlere Wert der Zufallsgröße $X$ wird auch Erwartungswert von $X$ genannt. Er kann als Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ gedeutet werden.

Der Erwartungswert $E(X)$ ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Wenn $X$ die Werte $x_1$, ..., $x_n$ annimmt, dann wird er wie so bestimmt:

$E(X) = P(X = x_1) \cdot x_1 + \dots + P(X = x_n) \cdot x_n$

Der Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsgröße $X$ liefet eine Prognose für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments. Wir sagen hierfür kurz, dass der Erwartungswert von $X$ den erwarteten mittleren Wert von $x$ beschreibt.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe den Gewinn beim Spiel chuck a luck. Der Erwartungswert $E(X)$ beschreibt dann den erwarteten Gewinn pro Spieldurchgang bei einer langen Versuchsreihe. Es gilt:

$E(X) = P(X = x_1) \cdot x_1 + \dots + P(X = x_n) \cdot x_n = \underbrace{\frac{125}{216}}_{P(X = -1)} \cdot (-1) + \underbrace{\frac{75}{216}}_{P(X = 1)} \cdot 1 + \underbrace{\frac{15}{216}}_{P(X = 2)} \cdot 2 + \underbrace{\frac{1}{216}}_{P(X = 3)} \cdot 3 = -\frac{17}{216}$

Es wird also erwartet, dass ein(e) Spieler(in) auf lange Sicht bei jeder Spielrunde ca. $0.08$ Münzen verliert.

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