Zusammenfassung - Erwartungswert einer Zufallsgröße
Ein Beispiel
Wir betrachten des Zufallsexperiment „Werfen von zwei Würfeln“. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Augendifferenz der beiden Würfel.
Zum Herunterladen: ew_zg_differenz.ggb
Wir beschäftigen uns mit folgender Fragestellung:
Leitfrage
Wie wird der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments bestimmt?
Zunächst betrachten wir eine konkrete Serie von Werten von $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments:
$1, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 5, 1$
Wir erhalten folgende Häufigkeitsverteilungen:
| mögliche Werte von $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| absolute Häufigkeiten | $0$ | $3$ | $2$ | $4$ | $0$ | $1$ |
| relative Häufigkeiten | $\frac{0}{10}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{2}{10}$ | $\frac{4}{10}$ | $\frac{0}{10}$ | $\frac{1}{10}$ |
Der Mittelwert dieser Werte wird wie folgt berechnet:
$ \displaystyle{\frac{0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5}{10}} = \\ \displaystyle{\frac{0}{10}} \cdot 0 + \displaystyle{\frac{3}{10}} \cdot 1 + \displaystyle{\frac{2}{10}} \cdot 2 + \displaystyle{\frac{4}{10}} \cdot 3 + \displaystyle{\frac{0}{10}} \cdot 4 + \displaystyle{\frac{1}{10}} \cdot 5= \\ 2.3$
Zur Herleitung einer Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments gehen wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ aus.
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $P(X = k)$ | $\displaystyle{\frac{6}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{10}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{8}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{6}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{4}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{2}{36}}$ |
Wenn das Zufallsexperiment $N$-mal durchgeführt wird, erhalten wir folgende erwartete Häufigkeiten der möglichen Werte von $X$:
| mögliche Werte von $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| erwartete absolute Häufigkeiten | $N \cdot \frac{6}{36}$ | $N \cdot \frac{10}{36}$ | $N \cdot \frac{8}{36}$ | $N \cdot \frac{6}{36}$ | $N \cdot \frac{4}{36}$ | $N \cdot \frac{2}{36}$ |
| erwartete relative Häufigkeiten | $\frac{6}{36}$ | $\frac{10}{36}$ | $\frac{8}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{2}{36}$ |
Den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei $N$ Wiederholungen des Zufallsexperiments wird wie folgt bestimmt:
$ \underbrace{\frac{6}{36}}_{P(X = 0)} \cdot 0 + \underbrace{\frac{10}{36}}_{P(X = 2)} \cdot 1 + \underbrace{\frac{8}{36}}_{P(X = 2)} \cdot 2 + \underbrace{\frac{6}{36}}_{P(X = 3)} \cdot 3 + \underbrace{\frac{4}{36}}_{P(X = 4)} \cdot 4 + \underbrace{\frac{2}{36}}_{P(X = 5)} \cdot 5 = \frac{70}{36} \approx 1.9$
Der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wird berechnet, indem die möglichen Werte von $X$ mit den erwarteten relativen Häufigkeiten (das sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten) multipliziert und diese Produkte aufsummiert werden.
Verallgemeinerung
Die Überlegungen zum Beispiel oben können völlig analog für eine beliebige Zufallsgröße $X$ zu einem Zufallsexperiment durchgeführt werden.
Es wird von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ausgegangen:
| a | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
| P(a) | $P(X = x_1)$ | $P(X = x_1)$ | $\dots$ | $P(X = x_n)$ |
Der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wird berechnet, indem die möglichen Werte von $X$ mit den erwarteten relativen Häufigkeiten (das sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten) multipliziert und diese Produkte aufsummiert werden:
$P(X = x_1) \cdot x_1 + P(X = x_2) \cdot x_2 + \cdots + P(X = x_n) \cdot x_n$
Dieser erwartete mittlere Wert der Zufallsgröße $X$ wird auch Erwartungswert von $X$ genannt. Er kann als Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ gedeutet werden.
Der Erwartungswert $E(X)$ ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Wenn $X$ die Werte $x_1, \dots, x_n$ annimmt, dann wird er wie folgt bestimmt:
$E(X) = P(X = x_1) \cdot x_1 + \dots + P(X = x_n) \cdot x_n$
Der Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsgröße $X$ liefert eine Prognose für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments. Wir sagen hierfür kurz, dass der Erwartungswert von $X$ den erwarteten mittleren Wert von $x$ beschreibt.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibe den Gewinn beim Spiel chuck a luck. Der Erwartungswert $E(X)$ beschreibt dann den erwarteten Gewinn pro Spieldurchgang bei einer langen Versuchsreihe. Es gilt:
$E(X) = P(X = x_1) \cdot x_1 + \dots + P(X = x_n) \cdot x_n = \underbrace{\frac{125}{216}}_{P(X = -1)} \cdot (-1) + \underbrace{\frac{75}{216}}_{P(X = 1)} \cdot 1 + \underbrace{\frac{15}{216}}_{P(X = 2)} \cdot 2 + \underbrace{\frac{1}{216}}_{P(X = 3)} \cdot 3 = -\frac{17}{216}$
Es wird also erwartet, dass ein(e) Spieler(in) auf lange Sicht bei jeder Spielrunde ca. $0.08$ Münzen verliert.
