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Zusammenfassung - Erwartungswert einer Zufallsgröße

Ein Beispiel

Wir betrachten des Zufallsexperiment „Werfen von zwei Würfeln“. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Augendifferenz der beiden Würfel.

Zum Herunterladen: ew_zg_differenz.ggb

Wir beschäftigen uns mit folgender Fragestellung:

Leitfrage

Wie wird der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments bestimmt?

Zunächst betrachten wir eine konkrete Serie von Werten von $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments:

$1, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 5, 1$

Wir erhalten folgende Häufigkeitsverteilungen:

mögliche Werte von $X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
absolute Häufigkeiten	$0$	$3$	$2$	$4$	$0$	$1$
relative Häufigkeiten	$\frac{0}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{0}{10}$	$\frac{1}{10}$

Der Mittelwert dieser Werte wird wie folgt berechnet:

$\frac{0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5}{10} = \frac{0}{10} \cdot 0 + \frac{3}{10} \cdot 1 + \frac{2}{10} \cdot 2 + \frac{4}{10} \cdot 3 + \frac{0}{10} \cdot 4 + \frac{1}{10} \cdot 5 = 2.3$

Zur Herleitung einer Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments gehen wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ aus.

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P (X = k)$	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

Wenn das Zufallsexperiment $N$ -mal durchgeführt wird, erhalten wir folgende erwartete Häufigkeiten der möglichen Werte von $X$ :

mögliche Werte von $X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
erwartete absolute Häufigkeiten	$N \cdot \frac{6}{36}$	$N \cdot \frac{10}{36}$	$N \cdot \frac{8}{36}$	$N \cdot \frac{6}{36}$	$N \cdot \frac{4}{36}$	$N \cdot \frac{2}{36}$
erwartete relative Häufigkeiten	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

Den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei $N$ Wiederholungen des Zufallsexperiments wird wie folgt bestimmt:

$\underset{P (X = 0)}{\underset{⏟}{\frac{6}{36}}} \cdot 0 + \underset{P (X = 2)}{\underset{⏟}{\frac{10}{36}}} \cdot 1 + \underset{P (X = 2)}{\underset{⏟}{\frac{8}{36}}} \cdot 2 + \underset{P (X = 3)}{\underset{⏟}{\frac{6}{36}}} \cdot 3 + \underset{P (X = 4)}{\underset{⏟}{\frac{4}{36}}} \cdot 4 + \underset{P (X = 5)}{\underset{⏟}{\frac{2}{36}}} \cdot 5 = \frac{70}{36} \approx 1.9$

Der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wird berechnet, indem die möglichen Werte von $X$ mit den erwarteten relativen Häufigkeiten (das sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten) multipliziert und diese Produkte aufsummiert werden.

Verallgemeinerung

Die Überlegungen zum Beispiel oben können völlig analog für eine beliebige Zufallsgröße $X$ zu einem Zufallsexperiment durchgeführt werden.

Es wird von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ausgegangen:

a	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
P(a)	$P (X = x_{1})$	$P (X = x_{1})$	$\dots$	$P (X = x_{n})$

$P (X = x_{1}) \cdot x_{1} + P (X = x_{2}) \cdot x_{2} + \dots + P (X = x_{n}) \cdot x_{n}$

Dieser erwartete mittlere Wert der Zufallsgröße $X$ wird auch Erwartungswert von $X$ genannt. Er kann als Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ gedeutet werden.

Der Erwartungswert $E (X)$ ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ . Wenn $X$ die Werte $x_{1}, \dots, x_{n}$ annimmt, dann wird er wie folgt bestimmt:

$E (X) = P (X = x_{1}) \cdot x_{1} + \dots + P (X = x_{n}) \cdot x_{n}$

Der Erwartungswert $E (X)$ der Zufallsgröße $X$ liefert eine Prognose für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments. Wir sagen hierfür kurz, dass der Erwartungswert von $X$ den erwarteten mittleren Wert von $x$ beschreibt.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe den Gewinn beim Spiel chuck a luck. Der Erwartungswert $E (X)$ beschreibt dann den erwarteten Gewinn pro Spieldurchgang bei einer langen Versuchsreihe. Es gilt:

$E (X) = P (X = x_{1}) \cdot x_{1} + \dots + P (X = x_{n}) \cdot x_{n} = \underset{P (X = - 1)}{\underset{⏟}{\frac{125}{216}}} \cdot (- 1) + \underset{P (X = 1)}{\underset{⏟}{\frac{75}{216}}} \cdot 1 + \underset{P (X = 2)}{\underset{⏟}{\frac{15}{216}}} \cdot 2 + \underset{P (X = 3)}{\underset{⏟}{\frac{1}{216}}} \cdot 3 = - \frac{17}{216}$

Es wird also erwartet, dass ein(e) Spieler(in) auf lange Sicht bei jeder Spielrunde ca. $0.08$ Münzen verliert.

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