Übungen - Erwartungswert einer Zufallsgröße

Aufgabe 1: Das Würfelspiel „2 gewinnt“

Zwei Würfel werden geworfen. Wenn keine $2$ fällt, dann musst du $1$ € zahlen. Andernfalls erhältst du für jede $2$, die geworfen wurde, $1$ € pro Auge.
D. h.: Wenn die $2$ einmal fällt, erhältst du $2$ €. Wenn die $2$ zweimal fällt, erhältst du $4$ €.

Zum Herunterladen: zg_spiel.ggb

Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf dem Gewinn. Wir nutzen die Zufallsgröße $X$, um den Gewinn zu beschreiben. Einen Verlust können wir dabei als negativen Gewinn ansehen.

$a$	$-1$	$0$	$2$
$P(X = a)$	$\displaystyle{\frac{25}{36}}$	$\displaystyle{\frac{10}{36}}$	$\displaystyle{\frac{1}{36}}$

Kläre folgende Frage: Wird bei diesem Spiel auf lange Sicht gewonnen oder verloren?

Aufgabe 2: Ein Würfelspiel

Betrachte folgendes Würfelspiel: Du gewinnst $10$ €, wenn du eine $6$ würfelst, ansonsten verlierst du $2$ €.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe den Gewinn beim Zufallsexperiment „einen Standardwürfel werfen“.

Bestimme $E(X)$ und deute das Ergebnis.

Aufgabe 3: Glückstaler

Du darfst 5 Münzen werfen. Wenn das Kopfsymbol $0$ oben liegt, dann handelt es sich um einen Glückstaler und du darfst ihn behalten.

Zum Herunterladen: zg_glueckstaler.ggb

Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf der Anzahl der Glückstaler. Wir nutzen die Zufallsgröße $X$, um diese Anzahl zu beschreiben. Hier die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$:

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X = k)$	$\displaystyle{\frac{1}{32}}$	$\displaystyle{\frac{5}{32}}$	$\displaystyle{\frac{10}{32}}$	$\displaystyle{\frac{10}{32}}$	$\displaystyle{\frac{5}{32}}$	$\displaystyle{\frac{1}{32}}$

Bestimme den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und deute ihn, z. B. so:

Wenn z. B. 1000-mal die 5 Münzen geworfen werden, ...

Aufgabe 4: Notenerzeugung

Das Applet zeigt eine Möglichkeit, mit 5 Münzen eine Note zu erzeugen.

Zum Herunterladen: notenerzeugung1.ggb

Die Noten der nächsten Kursarbeit in deinem Kurs werden mit dem Applet erzeugt. Mit welcher Durchschnittsnote ist zu rechnen? Erstelle eine Prognose.

Aufgabe 5: Das Nix-Mieh-Spiel

In einer Urne befinden sich 2 weiße und 3 schwarze Kugeln. Die Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Pro gezogener weißer Kugel bekommt die Spielerin 1 Euro, pro gezogener schwarzer Kugel muss sie 1 Euro an die Bank zahlen. Die Spielerin kann jederzeit mit dem Ziehen aufhören, indem sie laut „nix mieh“ ruft. "Nix-mieh" ist übrigens rheinisch und bedeutet "nichts mehr".

Die Spielerin darf so oft spielen, wie sie möchte. Vor einem erneuten Spiel werden alle Kugeln in die Urne zurückgelegt.

Berurteile begründet, ob die Spielerin spielen, oder es lieber lassen sollte.
Tipp: Versuche eine Strategie zu entwickeln, die möglichst günstig für die Spielerin ist.