Übungen - Erwartungswert einer Zufallsgröße

Aufgabe 1: Das Würfelspiel „2 gewinnt“

Zwei Würfel werden geworfen. Wenn keine $2$ fällt, dann musst du $1$ € zahlen. Andernfalls erhältst du für jede $2$, die geworfen wurde, $1$ € pro Auge. D.h.: Wenn die $2$ einmal fällt, erhältst du $2$ €. Wenn die $2$ zweimal fällt, erhältst du $4$ €.

Zum Herunterladen: zg_spiel.ggb

Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf dem Gewinn. Wir nutzen die Zufallsgröße $X$, um den Gewinn zu beschreiben. Einen Verlust können wir dabei als negativen Gewinn ansehen.

$a$	$-1$	$0$	$2$
$P(X = a)$	$\displaystyle{\frac{25}{36}}$	$\displaystyle{\frac{10}{36}}$	$\displaystyle{\frac{1}{36}}$

Kläre folgende Frage: Wird bei diesem Spiel auf lange Sicht gewonnen oder verloren?

Aufgabe 2: Ein Würfelspiel

Betrachte folgendes Würfelspiel: Du gewinnst $10$ €, wenn du eine $6$ würfelst, ansonsten verlierst du $2$ €.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibe den Gewinn beim Zufallsexperiment „einen Standardwürfel werfen“.

Bestimme $E(X)$ und deute das Ergebnis.

Aufgabe 3: Glückstaler

Du darfst 5 Münzen werfen. Wenn das Kopfsymbol $0$ oben liegt, dann handelt es sich um einen Glückstaler und du darfst ihn behalten.

Zum Herunterladen: zg_glueckstaler.ggb

Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf der Anzahl der Glückstaler. Wir nutzen die Zufallsgröße $X$, um diese Anzahl zu beschreiben. Hier die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$:

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X = k)$	$\displaystyle{\frac{1}{32}}$	$\displaystyle{\frac{5}{32}}$	$\displaystyle{\frac{10}{32}}$	$\displaystyle{\frac{10}{32}}$	$\displaystyle{\frac{5}{32}}$	$\displaystyle{\frac{1}{32}}$

Bestimme den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und deute ihn, z.B. so:

Wenn z.B. 1000-mal die 5 Münzen geworfen werden, ...

Aufgabe 4: Notenerzeugung

Das Applet zeigt eine Möglichkeit, mit 5 Münzen eine Note zu erzeugen.

Zum Herunterladen: notenerzeugung1.ggb

Die Noten der nächsten Kursarbeit in deinem Kurs werden mit dem Applet erzeugt. Mit welcher Durchschnittsnote ist zu rechnen? Erstelle eine Prognose.