Strukturierung - Erwartungswert
Einstieg - die Überlegungen beim Spiel chuck a luck wiederholen
Beim Spiel chuck a luck haben wir uns mit der Frage beschäftigt, ob auf lange Sicht Münzen gewonnen oder verloren werden. Hierzu haben wir die Zufallsgröße $X$ eingeführt, die den Würfelergebnissen den Gewinn bei einer Spielrunde zuordnet.
Zum Herunterladen: ew_zg_chuckaluck.ggb
Bei der Herleitung einer Formel für den erwarteten mittleren Gewinn pro Spiel bei einer langen Versuchsreihe sind wir von folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ ausgegangen:
| $a$ | $-1$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $P(X = a)$ | $\displaystyle{\frac{125}{216}}$ | $\displaystyle{\frac{75}{216}}$ | $\displaystyle{\frac{15}{216}}$ | $\displaystyle{\frac{1}{216}}$ |
Ausgehend von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ konnten wir den erwarteten mittleren Gewinn pro Spiel (bei $N$ Spielrunden) direkt berechnen:
$g = \underbrace{\frac{125}{216}}_{P(X = -1)} \cdot (-1) + \underbrace{\frac{75}{216}}_{P(X = 1)} \cdot 1 + \underbrace{\frac{15}{216}}_{P(X = 2)} \cdot 2 + \underbrace{\frac{1}{216}}_{P(X = 3)} \cdot 3 = \displaystyle{-\frac{17}{216}} \approx -0.08$
Aufgabe 1
Erläutere anhand der Formeln noch einmal das Vorgehen zur Bestimmung des erwarteten mittleren Gewinns pro Spiel.
Erarbeitung - ein weiteres Beispiel betrachten
Wir betrachten jetzt ein Beispiel, bei dem es nicht um Gewinne geht. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Augendifferenz beim Zufallsexperiment „Werfen von zwei Würfeln“.
Zum Herunterladen: ew_zg_differenz.ggb
Wir beschäftigen uns hier mit folgender Fragestellung:
Leitfrage
Wie wird der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments bestimmt?
Aufgabe 2
Mit dem Applet hast du z. B. folgende Werte für $X$ erhalten:
$1, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 5, 1$
Erkläre anhand dieser Beispielergebnisse, wie der Mittelwert der von $X$ gelieferten Werte berechnet wird. Benutze zum einen absolute Häufigkeiten, zum anderen relative Häufigkeiten.
Aufgabe 3
Zur Herleitung einer Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ gehen wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ aus. Diese wurde bereits im Kapitel Zufallsgrößenbestimmt.
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $P(X = k)$ | $\displaystyle{\frac{6}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{10}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{8}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{6}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{4}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{2}{36}}$ |
(a)
Betrachte als Beispiel eine Versuchsreihe mit $N = 1000$ Wiederholungen.
Erstelle mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ eine Prognose
für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für diese Versuchsreihe.
(b) Entwickle eine Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.
$g = \underbrace{\frac{6}{36}}_{P(X = 0)} \cdot 0 + \dots$
(c) Erläutere: Der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wird erhalten, indem der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ bestimmt wird.
Vertiefung - eine beliebige Zufallsgröße betrachten
Betrachte jetzt eine beliebige Zufallsgröße $X$ zu einem Zufallsexperiment. Der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird auch Erwartungswert von $X$ genannt und mit $E(X)$ bezeichnet.
Aufgabe 4
Ergänze die allgemeine Berechnungsformel für den Erwartungswert einer Zufallsgröße.
Der Erwartungswert $E(X)$ ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Wenn $X$ die Werte $x_1, \dots, x_n$ annimmt, dann wird er wie folgt bestimmt:
$E(X) = \dots$
Der Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsgröße $X$ liefert eine Prognose für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments.
