i

Strukturierung - Erwartungswert

Einstieg - die Überlegungen beim Spiel chuck a luck wiederholen

Beim Spiel chuck a luck haben wir uns mit der Frage beschäftigt, ob auf lange Sicht Münzen gewonnen oder verloren werden. Hierzu haben wir die Zufallsgröße $X$ eingeführt, die den Würfelergebnissen den Gewinn bei einer Spielrunde zuordnet.

Zum Herunterladen: ew_zg_chuckaluck.ggb

Bei der Herleitung einer Formel für den erwarteten mittleren Gewinn pro Spiel bei einer langen Versuchsreihe sind wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ ausgegangen.

$a$ $-1$ $1$ $2$ $3$
$P(X = a)$ $\displaystyle{\frac{125}{216}}$ $\displaystyle{\frac{75}{216}}$ $\displaystyle{\frac{15}{216}}$ $\displaystyle{\frac{1}{216}}$

Ausgehend von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ konnten wir den erwarteten mittleren Gewinn pro Spiel (bei $N$ Spielrunden) direkt berechnen:

$g = \underbrace{\frac{125}{216}}_{P(X = -1)} \cdot (-1) + \underbrace{\frac{75}{216}}_{P(X = 1)} \cdot 1 + \underbrace{\frac{15}{216}}_{P(X = 2)} \cdot 2 + \underbrace{\frac{1}{216}}_{P(X = 3)} \cdot 3 = \displaystyle{-\frac{17}{216}} \approx -0.08$

Aufgabe 1

Erläutere anhand der Formeln noch einmal das Vorgehen zur Bestimmung des erwarteten mittleren Gewinns pro Spiel.

Erarbeitung - ein weiteres Beispiel betrachten

Wir betrachten jetzt ein Beispiel, bei dem es nicht um Gewinne geht. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Augendifferenz beim Zufallsexperiment „Werfen von zwei Würfeln“.

Zum Herunterladen: ew_zg_differenz.ggb

Wir beschäftigen uns hier mit folgender Fragestellung:

Leitfrage

Wie wird der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments bestimmt?

Aufgabe 2

Mit dem Applet hast du z.B. folgende Werte für $X$ erhalten:

$1, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 5, 1$

Erkläre anhand dieser Beispielergebnisse, wie der Mittelwert der von $X$ gelieferten Werte berechnet wird. Benutze zum einen absolute Häufigkeiten, zum anderen relative Häufigkeiten.

Aufgabe 3

Zur Herleitung einer Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ gehen wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ aus. Diese wurde bereits im Kapitel ... bestimmt.

$k$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$P(X = k)$ $\displaystyle{\frac{6}{32}}$ $\displaystyle{\frac{10}{32}}$ $\displaystyle{\frac{8}{32}}$ $\displaystyle{\frac{6}{32}}$ $\displaystyle{\frac{4}{32}}$ $\displaystyle{\frac{2}{32}}$

(a) Betrachte als Beispiel eine Versuchsreihe mit $N = 1000$ Wiederholungen. Erstelle mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ eine Prognose für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für diese Versuchsreihe.

(b) Entwickle eine Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.

$g = \underbrace{\frac{6}{32}}_{P(X = 0)} \cdot 0 + \dots$

(c) Erläutere: Der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wird erhalten, indem der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ bestimmt wird.

Vertiefung - eine beliebige Zufallsgröße betrachten

Betrachte jetzt eine beliebige Zufallsgröße $X$ zu einem Zufallsexperiment. Der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird auch Erwartungswert von $X$ genannt und mit $E(X)$ bezeichnet.

Aufgabe 4

Ergänze die allgemeine Berechnungsformel für den Erwartungswert einer Zufallsgröße.

Der Erwartungswert $E(X)$ ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Wenn $X$ die Werte $x_1$, ..., $x_n$ annimmt, dann wird er so bestimmt:

$E(X) = \dots$

Der Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsgröße $X$ liefet eine Prognose für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments.

Suche

v
6.5.2.2
o-mathe.de/stochastik/zufallsgroessen/erwartungswert/strukturierung
o-mathe.de/6.5.2.2

Rückmeldung geben