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Strukturierung - Erwartungswert

Einstieg - die Überlegungen beim Spiel chuck a luck wiederholen

Beim Spiel chuck a luck haben wir uns mit der Frage beschäftigt, ob auf lange Sicht Münzen gewonnen oder verloren werden. Hierzu haben wir die Zufallsgröße $X$ eingeführt, die den Würfelergebnissen den Gewinn bei einer Spielrunde zuordnet.

Zum Herunterladen: ew_zg_chuckaluck.ggb

Bei der Herleitung einer Formel für den erwarteten mittleren Gewinn pro Spiel bei einer langen Versuchsreihe sind wir von folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ ausgegangen:

$a$	$- 1$	$1$	$2$	$3$
$P (X = a)$	$\frac{125}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{1}{216}$

Ausgehend von der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ konnten wir den erwarteten mittleren Gewinn pro Spiel (bei $N$ Spielrunden) direkt berechnen:

$g = \underset{P (X = - 1)}{\underset{⏟}{\frac{125}{216}}} \cdot (- 1) + \underset{P (X = 1)}{\underset{⏟}{\frac{75}{216}}} \cdot 1 + \underset{P (X = 2)}{\underset{⏟}{\frac{15}{216}}} \cdot 2 + \underset{P (X = 3)}{\underset{⏟}{\frac{1}{216}}} \cdot 3 = - \frac{17}{216} \approx - 0.08$

Aufgabe 1

Erläutere anhand der Formeln noch einmal das Vorgehen zur Bestimmung des erwarteten mittleren Gewinns pro Spiel.

Erarbeitung - ein weiteres Beispiel betrachten

Wir betrachten jetzt ein Beispiel, bei dem es nicht um Gewinne geht. Die Zufallsgröße $X$ beschreibe die Augendifferenz beim Zufallsexperiment „Werfen von zwei Würfeln“.

Zum Herunterladen: ew_zg_differenz.ggb

Wir beschäftigen uns hier mit folgender Fragestellung:

Leitfrage

Wie wird der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des Zufallsexperiments bestimmt?

Aufgabe 2

Mit dem Applet hast du z. B. folgende Werte für $X$ erhalten:

$1, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 5, 1$

Erkläre anhand dieser Beispielergebnisse, wie der Mittelwert der von $X$ gelieferten Werte berechnet wird. Benutze zum einen absolute Häufigkeiten, zum anderen relative Häufigkeiten.

Aufgabe 3

Zur Herleitung einer Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ gehen wir von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ aus. Diese wurde bereits im Kapitel Zufallsgrößenbestimmt.

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P (X = k)$	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

(a) Betrachte als Beispiel eine Versuchsreihe mit $N = 1000$ Wiederholungen.
Erstelle mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ eine Prognose für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ für diese Versuchsreihe.

(b) Entwickle eine Formel für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ .

$g = \underset{P (X = 0)}{\underset{⏟}{\frac{6}{36}}} \cdot 0 + \dots$

(c) Erläutere: Der Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ wird erhalten, indem der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ bestimmt wird.

Vertiefung - eine beliebige Zufallsgröße betrachten

Betrachte jetzt eine beliebige Zufallsgröße $X$ zu einem Zufallsexperiment. Der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird auch Erwartungswert von $X$ genannt und mit $E (X)$ bezeichnet.

Aufgabe 4

Ergänze die allgemeine Berechnungsformel für den Erwartungswert einer Zufallsgröße.

Der Erwartungswert $E (X)$ ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ . Wenn $X$ die Werte $x_{1}, \dots, x_{n}$ annimmt, dann wird er wie folgt bestimmt:

$E (X) = \dots$

Der Erwartungswert $E (X)$ der Zufallsgröße $X$ liefert eine Prognose für den Mittelwert zur erwarteten Häufigkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ bei einer wiederholten Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments.