Übungen - Zufallsgrößen

Aufgabe 1: Augensumme

Zwei Würfel werden geworfen. Dabei liegt das Interesse auf der Summe der geworfenen Augenzahlen.

Zum Herunterladen: zg_summe.ggb

Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.

Ergebnismenge:
$\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
$P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$

Zur Beschreibung der Augensumme nutzen wir die Zufallsgröße $X$.

(a) Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit $\dots$ markiert sind.

Realität	Modell
Zufallsgröße: Summe der Augenzahlen der beiden Würfel	Zufallsgröße: $X: 11 \rightarrow \dots$ $X: 12 \rightarrow \dots$ $\dots$ $X: 21 \rightarrow \dots$ $X: 22 \rightarrow \dots$ $\dots$ $X: 66 \rightarrow \dots$

(b) Mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ lassen sich jetzt Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten in gut lesbarer Weise beschreiben. Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit $\dots$ markiert sind.

Realität	Modell
Ereignisse: die Summe der Augenzahlen beträgt $2$ $\dots$ die Summe der Augenzahlen beträgt $11$ die Summe der Augenzahlen beträgt $12$	Ereignisse: $X = 2: \{ \dots \}$ $\dots$ $X = 11: \{ \dots \}$ $X = 12: \{ \dots \}$
	Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: $P(X = 2) = \dots$ $\dots$ $P(X = 11) = \dots$ $P(X = 12) = \dots$

(c) Erstelle eine Wertetabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.

Kontrolle

Vergleiche mit der Tabelle auf Zusammenfassung - Ereignisse.

Aufgabe 2: Das Würfelspiel „2 gewinnt“

Zwei Würfel werden geworfen. Wenn keine $2$ fällt, dann musst du $1$ € zahlen. Andernfalls erhältst du für jede $2$, die geworfen wurde, $1$ € pro Auge.
D. h.: Wenn die $2$ einmal fällt, erhältst du $2$ €. Wenn die $2$ zweimal fällt, erhältst du $4$ €.

Zum Herunterladen: zg_spiel.ggb

Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es wieder naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.

Ergebnismenge:
$\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
$P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$

Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf dem Gewinn. Wir nutzen die Zufallsgröße $X$, um den Gewinn zu beschreiben. Einen Verlust können wir dabei als negativen Gewinn ansehen.

(a) Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit $\dots$ markiert sind.

Realität	Modell
Zufallsgröße: Gewinn	Zufallsgröße: $X: 11 \rightarrow \dots$ $X: 12 \rightarrow \dots$ $\dots$ $X: 21 \rightarrow \dots$ $X: 22 \rightarrow \dots$ $\dots$ $X: 66 \rightarrow \dots$

(b) Welche Werte kann die Zufallsgröße $X$ annehmen? Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse.

Wert von $X$	Ereignis	Wahrscheinlichkeit
$\dots$	$X = \dots: \{ \dots \}$	$P(X = \dots) = \dots $
$2$	$X = 2: \{ \dots \}$	$P(X = 2) = \dots $
$\dots$	$X = \dots: \{ \dots \}$	$P(X = \dots) = \dots $

(c) Die Übersicht in Aufgabenteil (b) enthält die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$. Verdeutliche diese Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einem Histogramm.

Aufgabe 3: Glückstaler

Du darfst 5 Münzen werfen. Wenn das Kopfsymbol $0$ oben liegt, dann handelt es sich um einen Glückstaler und du darfst ihn behalten.

Zum Herunterladen: zg_glueckstaler.ggb

Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den Münzwurfergebnissen $0$ (für Kopf) und $1$ (für Zahl) auszugehen.

Ergebnismenge:
$\Omega = \{ 00000, 00001, \dots 11111 \}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
$P(e) = \frac{1}{32}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$

Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf der Anzahl der Glückstaler. Wir nutzen die Zufallsgröße $X$, um diese Anzahl zu beschreiben.

(a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.

Hinweis

Ermittle zunächst die Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann. Betrachte dann die zugehörigen Ereignisse und bestimmen deren Wahrscheinlichkeiten.

(b) Verdeutliche die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabenteil (a) mit einem Histogramm.

Aufgabe 4: Notenerzeugung

Das Applet zeigt eine weitere Möglichkeit, mit zwei Würfeln eine Note zu erzeugen.

Zum Herunterladen: zg_notenerzeugung.ggb

(a) Im Applet werden die Zufallsgrößen $X_1$, $X_2$, $D$ und $N$ benutzt. Beschreibe in Worten und mit Hilfe von Zuordnungsbeispielen, was diese Zufallsgrößen leisten.

(b) Erläutere anhand dieses Beispiels: Mit Zufallsgrößen können Rechenoperationen ausgeführt werden.

(c) Mit Zufallsgrößen können auch Vergleichsoperationen ausgeführt werden. Beschreibe die folgenden Ereignisse in Worten und mit Hilfe von Ergebnismengen:

• $X_1 > 1$
• $X_2 < 3$
• $N \leq 4$
• $N > 4$
• $D \leq X_1$