Übungen - Zufallsgrößen
Aufgabe 1: Augensumme
Zwei Würfel werden geworfen. Dabei liegt das Interesse auf der Summe der geworfenen Augenzahlen.
Zum Herunterladen: zg_summe.ggb
Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.
Ergebnismenge:
$\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
$P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$
Zur Beschreibung der Augensumme nutzen wir die Zufallsgröße $X$.
(a) Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit $\dots$ markiert sind.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsgröße: Summe der Augenzahlen der beiden Würfel |
Zufallsgröße:
$X: 11 \rightarrow \dots$ $X: 12 \rightarrow \dots$ ... $X: 21 \rightarrow \dots$ $X: 22 \rightarrow \dots$ ... $X: 66 \rightarrow \dots$ |
(b) Mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ lassen sich jetzt Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten in gut lesbarer Weise beschreiben. Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit $\dots$ markiert sind.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Ereignisse: die Summe der Augenzahlen beträgt $2$ ... die Summe der Augenzahlen beträgt $11$ die Summe der Augenzahlen beträgt $12$ |
Ereignisse: $X = 2: \{ \dots \}$ ... $X = 11: \{ \dots \}$ $X = 12: \{ \dots \}$ |
| Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: $P(X = 2) = \dots$ ... $P(X = 11) = \dots$ $P(X = 12) = \dots$ |
(c) Erstelle eine Wertetabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.
Kontrolle: Vergleiche mit der Tabelle auf Zusammenfassung - Ereignisse.
Aufgabe 2: Das Würfelspiel „2 gewinnt“
Zwei Würfel werden geworfen. Wenn keine $2$ fällt, dann musst du $1$ € zahlen. Andernfalls erhältst du für jede $2$, die geworfen wurde, $1$ € pro Auge. D.h.: Wenn die $2$ einmal fällt, erhältst du $2$ €. Wenn die $2$ zweimal fällt, erhältst du $4$ €.
Zum Herunterladen: zg_spiel.ggb
Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es wieder naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.
Ergebnismenge:
$\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
$P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$
Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf dem Gewinn. Wir nutzen die Zufallsgröße $X$, um den Gewinn zu beschreiben. Einen Verlust können wir dabei als negativen Gewinn ansehen.
(a) Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit $\dots$ markiert sind.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsgröße: Gewinn |
Zufallsgröße:
$X: 11 \rightarrow \dots$ $X: 12 \rightarrow \dots$ ... $X: 21 \rightarrow \dots$ $X: 22 \rightarrow \dots$ ... $X: 66 \rightarrow \dots$ |
(b) Welche Werte kann die Zufallsgröße $X$ annehmen? Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse.
| Wert von $X$ | Ereignis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| ... | $X = \dots: \{ \dots \}$ | $P(X = \dots) = \dots $ |
| 2 | $X = 2: \{ \dots \}$ | $P(X = 2) = \dots $ |
| ... | $X = \dots: \{ \dots \}$ | $P(X = \dots) = \dots $ |
(c) Die Übersicht in Aufgabenteil (b) enthält die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$. Verdeutliche diese Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einem Histogramm.
Aufgabe 3: Glückstaler
Du darfst 5 Münzen werfen. Wenn das Kopfsymbol $0$ oben liegt, dann handelt es sich um einen Glückstaler und du darfst ihn behalten.
Zum Herunterladen: zg_glueckstaler.ggb
Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den Münzwurfergebnissen $0$ (für Kopf) und $1$ (für Zahl) auszugehen.
Ergebnismenge:
$\Omega = \{ 00000, 00001, \dots 11111 \}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
$P(e) = \frac{1}{32}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$
Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf der Anzahl der Glückstaler. Wir nutzen die Zufallsgröße $X$, um diese Anzahl zu beschreiben.
Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.
Hinweis: Ermittle zunächst die Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann. Betrachte dann die zugehörigen Ereignisse und bestimmen deren Wahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 4: Notenerzeugung
Das Applet zeigt eine weitere Möglichkeit, mit zwei Würfeln eine Note zu erzeugen.
Zum Herunterladen: zg_notenerzeugung.ggb
(a) Im Applet werden die Zufallsgrößen $X_1$, $X_2$, $D$ und $N$ benutzt. Beschreibe in Worten und mit Hilfe von Zuordnungsbeispielen, was diese Zufallsgrößen leisten.
(b) Erläutere anhand dieses Beispiels: Mit Zufallsgrößen können Rechenoperationen ausgeführt werden.
(c) Mit Zufallsgrößen können auch Vergleichsoperationen ausgeführt werden. Beschreibe die folgenden Ereignisse in Worten und mit Hilfe von Ergebnismengen.
- $X_1 > 1$
- $N \leq 4$
- $D \leq X_1$
