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Übungen - Zufallsgrößen

Aufgabe 1: Augensumme

Zwei Würfel werden geworfen. Dabei liegt das Interesse auf der Summe der geworfenen Augenzahlen.

Zum Herunterladen: zg_summe.ggb

Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.

Ergebnismenge:
Ω={11,12,13,...,21,22,23,...,64,65,66}
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(e)=136 für alle Ergebnisse e aus Ω

Zur Beschreibung der Augensumme nutzen wir die Zufallsgröße X.

(a) Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit markiert sind.

RealitätModell
Zufallsgröße:
Summe der Augenzahlen der beiden Würfel
Zufallsgröße:
X:11
X:12

X:21
X:22

X:66

(b) Mit Hilfe der Zufallsgröße X lassen sich jetzt Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten in gut lesbarer Weise beschreiben. Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit markiert sind.

RealitätModell
Ereignisse:
die Summe der Augenzahlen beträgt 2

die Summe der Augenzahlen beträgt 11
die Summe der Augenzahlen beträgt 12
Ereignisse:
X=2:{}

X=11:{}
X=12:{}
Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
P(X=2)=

P(X=11)=
P(X=12)=

(c) Erstelle eine Wertetabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X.

Kontrolle

Vergleiche mit der Tabelle auf Zusammenfassung - Ereignisse.

Aufgabe 2: Das Würfelspiel „2 gewinnt“

Zwei Würfel werden geworfen. Wenn keine 2 fällt, dann musst du 1 € zahlen. Andernfalls erhältst du für jede 2, die geworfen wurde, 1 € pro Auge.
D. h.: Wenn die 2 einmal fällt, erhältst du 2 €. Wenn die 2 zweimal fällt, erhältst du 4 €.

Zum Herunterladen: zg_spiel.ggb

Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es wieder naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.

Ergebnismenge:
Ω={11,12,13,...,21,22,23,...,64,65,66}
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(e)=136 für alle Ergebnisse e aus Ω

Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf dem Gewinn. Wir nutzen die Zufallsgröße X, um den Gewinn zu beschreiben. Einen Verlust können wir dabei als negativen Gewinn ansehen.

(a) Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit markiert sind.

RealitätModell
Zufallsgröße:
Gewinn
Zufallsgröße:
X:11
X:12

X:21
X:22

X:66

(b) Welche Werte kann die Zufallsgröße X annehmen? Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ereignisse.

Wert von XEreignisWahrscheinlichkeit
X=:{} P(X=)=
2X=2:{} P(X=2)=
X=:{} P(X=)=

(c) Die Übersicht in Aufgabenteil (b) enthält die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. Verdeutliche diese Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einem Histogramm.

Aufgabe 3: Glückstaler

Du darfst 5 Münzen werfen. Wenn das Kopfsymbol 0 oben liegt, dann handelt es sich um einen Glückstaler und du darfst ihn behalten.

Zum Herunterladen: zg_glueckstaler.ggb

Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den Münzwurfergebnissen 0 (für Kopf) und 1 (für Zahl) auszugehen.

Ergebnismenge:
Ω={00000,00001,11111}
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(e)=132 für alle Ergebnisse e aus Ω

Bei diesem Spiel liegt das Interesse auf der Anzahl der Glückstaler. Wir nutzen die Zufallsgröße X, um diese Anzahl zu beschreiben.

(a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X.

Hinweis

Ermittle zunächst die Werte, die die Zufallsgröße X annehmen kann. Betrachte dann die zugehörigen Ereignisse und bestimmen deren Wahrscheinlichkeiten.

(b) Verdeutliche die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabenteil (a) mit einem Histogramm.

Aufgabe 4: Notenerzeugung

Das Applet zeigt eine weitere Möglichkeit, mit zwei Würfeln eine Note zu erzeugen.

Zum Herunterladen: zg_notenerzeugung.ggb

(a) Im Applet werden die Zufallsgrößen X1, X2, D und N benutzt. Beschreibe in Worten und mit Hilfe von Zuordnungsbeispielen, was diese Zufallsgrößen leisten.

(b) Erläutere anhand dieses Beispiels: Mit Zufallsgrößen können Rechenoperationen ausgeführt werden.

(c) Mit Zufallsgrößen können auch Vergleichsoperationen ausgeführt werden. Beschreibe die folgenden Ereignisse in Worten und mit Hilfe von Ergebnismengen:

  • X1>1
  • X2<3
  • N4
  • N>4
  • DX1

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