Strukturierung - Zufallsgrößen
Einstieg - Orientierung
Hier geht es um die Klärung folgender Leitfrage:
Leitfrage
Was ist eine Zufallsgröße und wie wird sie verwendet?
Wir gehen dabei von einem einfachen und typischen Beispiel aus:
Beispiel: Augendifferenz
Zwei Würfel werden geworfen. Dabei liegt das Interesse auf der Differenz der geworfenen Augenzahlen.
Zum Herunterladen: zg_differenz.ggb
Erarbeitung - Eine Zufallsgröße verwenden
Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten |
|
| Ergebnisse: 11: erster Würfel eine 1 und zweiter Würfel eine 1 12: erster Würfel eine 1 und zweiter Würfel eine 2 $\dots$ |
Ergebnismenge: $\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$ |
| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$ |
Aufgabe 1
Die Differenz der jeweiligen Augenzahlen lässt sich jeweils aus den beiden Augenzahlen bestimmen. Wir nutzen eine Funktion $X$, um die Zuordnung „Augenzahlen der beiden Würfel $\rightarrow$ Augendifferenz“ zu erfassen. Die Funktion wird Zufallsgröße genannt, da sie die interessierende Größe beim Zufallsexperiment beschreibt.
Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit $\dots$ markiert sind.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsgröße: Differenz der Augenzahlen der beiden Würfel |
Zufallsgröße:
$X: 11 \rightarrow \dots$ $X: 12 \rightarrow \dots$ $\dots$ $X: 21 \rightarrow \dots$ $X: 22 \rightarrow \dots$ $\dots$ $X: 66 \rightarrow \dots$ |
Aufgabe 2
Mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ lassen sich jetzt Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten in gut lesbarer Weise beschreiben.
Ergänze in der Übersicht die Stellen, die mit $\dots$ markiert sind.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Ereignisse: die Differenz der Augenzahlen beträgt $0$ $\dots$ die Differenz der Augenzahlen beträgt $4$ die Differenz der Augenzahlen beträgt $5$ |
Ereignisse: $X = 0: \{ 11, 22, 33, 44, 55, 66 \}$ $\dots$ $X = 4: \{ \dots \}$ $X = 5: \{ \dots \}$ |
| Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: $P(X = 0) = \frac{6}{36}$ $\dots$ $P(X = 4) = \dots$ $P(X = 5) = \dots$ |
Vertiefung - Präzisierungen
Im obigen Beispiel hast du Folgendes gesehen:
Zufallsgrößen dienen dazu, bestimmte Größen bei Zufallsexperimenten zu erfassen.
Zufallsgrößen erleichtern dabei oft die Beschreibung von Ereignissen bei Zufallsexperimenten.
Im Beispiel oben wurden bereits Begriffe und Schreibweisen verwendet. Wir legen diese Begriffe und Schreibweisen jetzt allgemein fest.
Aufgabe 3
Erläutere die folgenden Definitionen anhand des oben benutzten Beispiels.
Eine Zufallsgröße (zu einem Zufallsexperiment) ist eine Funktion, die jedem Ergebnis aus der Ergebnismenge $\Omega$ eine reelle Zahl zuordnet. Die Funktionswerte einer Zufallsgröße werden auch kurz Werte der Zufallsgröße genannt.
Mit der Schreibweise $X = a$ wird das Ereignis beschrieben, das aus allen Ergebnissen $e$ aus der Ergebnismenge $\Omega$ besteht, für die $X(e) = a$ gilt (wobei $a$ eine beliebige reelle Zahl sein kann).
$X = a: \{ e \in \Omega | X(e) = a \}$
Vertiefung - Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ lässt sich mit einem Histogramm veranschaulichen.
Hinweis zur Bedienung
Mit dem schwarzen Dreieck auf der $x$-Achse kannst du die aktuellen Werte der Zufallsgröße einstellen.
Zum Herunterladen: zg_differenz_verteilung.ggb
Aufgabe 4
(a) Erkläre möglichst genau, was im Histogramm dargestellt wird und wie es aufgebaut ist.
(b) Ergänze mit Hilfe des Applets die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $P(X = k)$ | $\displaystyle{\frac{6}{36}}$ |
(c) Ergänze die allgemeine Definition:
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ ordnet ...
