Zusammenfassung - Zufallsgrößen
Die Grundidee
Die Grundidee lässt sich anhand des folgenden Beispiels erläutern:
Beispiel: Augendifferenz
Zwei Würfel werden geworfen. Das Interesse liegt auf der Differenz der geworfenen Augenzahlen.
Zum Herunterladen: zg_differenz.ggb
Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten |
|
| Ergebnisse: 11: erster Würfel eine 1 und zweiter Würfel eine 1 12: erster Würfel eine 1 und zweiter Würfel eine 2 $\dots$ |
Ergebnismenge: $\Omega = \{ 11, 12, 13, ..., 21, 22, 23, ..., 64, 65, 66 \}$ |
| Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. |
Wahrscheinlichkeitsfunktion: $P(e) = \frac{1}{36}$ für alle Ergebnisse $e$ aus $\Omega$ |
Die Differenz der jeweiligen Augenzahlen lässt sich jeweils aus den beiden Augenzahlen bestimmen. Wir nutzen eine Funktion $X$, um die Zuordnung „Augenzahlen der beiden Würfel $\rightarrow$ Augendifferenz“ zu erfassen. Die Funktion wird Zufallsgröße genannt, da sie die interessierende Größe beim Zufallsexperiment beschreibt.
| Realität | Modell |
|---|---|
|
Zufallsgröße: Differenz der Augenzahlen der beiden Würfel |
Zufallsgröße:
$X: 11 \rightarrow 0$ $X: 12 \rightarrow 1$ $\dots$ $X: 21 \rightarrow 1$ $X: 22 \rightarrow 0$ $\dots$ $X: 66 \rightarrow 0$ |
Mit Hilfe der Zufallsgröße $X$ lassen sich jetzt Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten in gut lesbarer Weise beschreiben.
| Realität | Modell |
|---|---|
| Ereignisse: die Differenz der Augenzahlen beträgt $0$ $\dots$ die Differenz der Augenzahlen beträgt $5$ |
Ereignisse: $X = 0: \{ 11, 22, 33, 44, 55, 66 \}$ $\dots$ $X = 5: \{ 16, 61 \}$ |
| Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: $P(X = 0) = \frac{6}{36}$ $P(X = 1) = \frac{10}{36}$ $P(X = 2) = \frac{8}{36}$ $P(X = 3) = \frac{6}{36}$ $P(X = 4) = \frac{4}{36}$ $P(X = 5) = \frac{2}{36}$ |
Präzisierung - Zufallsgrößen
Zufallsgrößen dienen dazu, bestimmte Größen bei Zufallsexperimenten zu erfassen. Wir betrachten dabei nur den Fall, dass die interessierenden Größen mit Zahlen beschrieben werden.
Eine Zufallsgröße (zu einem Zufallsexperiment) ist eine Funktion, die jedem Ergebnis aus der Ergebnismenge $\Omega$ eine reelle Zahl zuordnet. Die Funktionswerte einer Zufallsgröße werden auch kurz Werte der Zufallsgröße genannt.
Im obigen Beispiel wird eine Zufallsgröße benutzt, um den Augenzahlen beim Werfen von zwei Würfeln die Augendifferenz zuzuordnen. Die Werte der Zufallsgröße sind die möglichen Differenzen der beiden Augenzahlen.
Zufallsgrößen erleichtern oft die Beschreibung von Ereignissen bei Zufallsexperimenten.
Mit der Schreibweise $X = a$ wird das Ereignis beschrieben, das aus allen Ergebnissen $e$ aus der Ergebnismenge $\Omega$ besteht, für die $X(e) = a$ gilt (wobei $a$ eine beliebige reelle Zahl sein kann).
$X = a: \{ e \in \Omega | X(e) = a \}$
Bei einer Ereignisbeschreibung $X = a$ werden für $a$ normalerweise nur die Werte der Zufallsgröße $X$ verwendet. Wenn die Werte der Zufallsgröße $X$ alle natürliche Zahlen sind, dann nutzen wir meist die Schreibweise $X = k$.
Im Beispiel beschreibt $X = 2$ das Ereignis bestehend aus allen Würfelergebnissen, die zu einer Augendifferenz $2$ führen (also das Ereignis $\{ 13, 24, 35, ... \}$).
Mit $P(X = 2)$ wird dann die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beschrieben.
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
Im Beispiel oben kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ mit Hilfe einer Wertetabelle dargestellt werden. In dieser Wertetabelle wird jedem möglichen Wert $k$ der Zufallsvariablen $X$ die Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ zugeordnet.
| $k$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $P(X = k)$ | $\displaystyle{\frac{6}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{10}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{8}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{6}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{4}{36}}$ | $\displaystyle{\frac{2}{36}}$ |
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ lässt sich mit einem Histogramm veranschaulichen. Das Rechteck über einem Wert $k$ der Zufallsvariablen hat dabei die Höhe $P(X = k)$. Da die Breite des Rechtecks $1$ beträgt, entspricht der Flächeninhalt des Rechtecks genau der Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$.
Zum Herunterladen: zg_differenz_verteilung.ggb
Allgemein lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $X$ wie folgt festlegen:
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Wert $a$, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $P(X = a)$ zu.
Verwendung von Zufallsgrößen
Da die Werte von Zufallsgrößen Zahlen sind, können die Rechen- und Vergleichsoperationen für Zahlen auf sie übertragen werden. Wir verdeutlichen dies hier nur an einem Beispiel:
Beispiel: Noten würfeln
Zwei Würfel werden geworfen. Aus den Würfelergebnissen wird eine Note berechnet.
Zum Herunterladen: notenerzeugung2.ggb
In der Tabelle wird angedeutet, wie mit Zufallsgrößen gerechnet wird:
| Allgemein | Beispiel |
| $X_1$ ordnet jedem Würfelergebnis die Augenzahl des 1. Würfels zu. | $X_1: 34 \rightarrow 3$ |
| $X_2$ ordnet jedem Würfelergebnis die Augenzahl des 2. Würfels zu. | $X_2: 34 \rightarrow 4$ |
| $D$ ordnet jedem Würfelergebnis die Augendifferenz zu. | $D = |X_1 - X_2|$ |
| $N$ ordnet jedem Würfelergebnis die Note zu. | $N = D + 1$ |
Entsprechend lassen sich Verleichsoperationen zur Beschreibung von Ereignissen mit Hilfe von Zufallsgrößen verwenden.
So beschreibt $N > 4$ alle Würfelergebnisse, die zu einer Note führen, die schlechter als die Note $4$ ist.
