Zusammenfassung - Zufallsgrößen
Die Grundidee
Die Grundidee lässt sich anhand des folgenden Beispiels erläutern:
Beispiel: Augendifferenz
Zwei Würfel werden geworfen. Das Interesse liegt auf der Differenz der geworfenen Augenzahlen.
Zum Herunterladen: zg_differenz.ggb
Bei der Beschreibung dieses Zufallsexperiments ist es naheliegend, von den geworfenen Augenzahlen der beiden Würfel auszugehen.
Realität | Modell |
---|---|
Zufallsexperiment: zwei Standardwürfel werfen und dabei die Augenzahlen der beiden Würfel beobachten | |
Ergebnisse: 11: erster Würfel eine 1 und zweiter Würfel eine 1 12: erster Würfel eine 1 und zweiter Würfel eine 2 | Ergebnismenge: |
Wahrscheinlichkeitsannahme: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. | Wahrscheinlichkeitsfunktion: |
Die Differenz der jeweiligen Augenzahlen lässt sich jeweils aus den beiden Augenzahlen bestimmen. Wir nutzen eine Funktion
Realität | Modell |
---|---|
Zufallsgröße: Differenz der Augenzahlen der beiden Würfel | Zufallsgröße: |
Mit Hilfe der Zufallsgröße
Realität | Modell |
---|---|
Ereignisse: die Differenz der Augenzahlen beträgt die Differenz der Augenzahlen beträgt | Ereignisse: |
Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: |
Präzisierung - Zufallsgrößen
Zufallsgrößen dienen dazu, bestimmte Größen bei Zufallsexperimenten zu erfassen. Wir betrachten dabei nur den Fall, dass die interessierenden Größen mit Zahlen beschrieben werden.
Eine Zufallsgröße (zu einem Zufallsexperiment) ist eine Funktion, die jedem Ergebnis aus der Ergebnismenge
Im obigen Beispiel wird eine Zufallsgröße benutzt, um den Augenzahlen beim Werfen von zwei Würfeln die Augendifferenz zuzuordnen. Die Werte der Zufallsgröße sind die möglichen Differenzen der beiden Augenzahlen.
Zufallsgrößen erleichtern oft die Beschreibung von Ereignissen bei Zufallsexperimenten.
Mit der Schreibweise
Bei einer Ereignisbeschreibung
Im Beispiel beschreibt
Mit
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
Im Beispiel oben kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße
Zum Herunterladen: zg_differenz_verteilung.ggb
Allgemein lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße
Verwendung von Zufallsgrößen
Da die Werte von Zufallsgrößen Zahlen sind, können die Rechen- und Vergleichsoperationen für Zahlen auf sie übertragen werden. Wir verdeutlichen dies hier nur an einem Beispiel:
Beispiel: Noten würfeln
Zwei Würfel werden geworfen. Aus den Würfelergebnissen wird eine Note berechnet.
Zum Herunterladen: notenerzeugung2.ggb
In der Tabelle wird angedeutet, wie mit Zufallsgrößen gerechnet wird:
Allgemein | Beispiel |
Entsprechend lassen sich Verleichsoperationen zur Beschreibung von Ereignissen mit Hilfe von Zufallsgrößen verwenden.
So beschreibt