Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir beschäftigen uns mit folgender Fragestellung:
Leitfrage
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten wir die einzelnen Noten, wenn die Noten mit $5$ Münzen bestimmt werden?
Das Notengebungsverfahren beschreiben
Beim Werfen von $5$ Münzen treten Ergebnisse wie z. B. $01101$ auf, die aus den $5$ Beschreibungen der Münzoberseiten bestehen
(die $1$ steht dabei für Zahl
, die $0$ für Kopf
).
Jedem dieser Ergebnisse wird eine Note zugeodnet. Die Zuordnung wird hier mit $X$ bezeichnet und Zufallsgröße genannt.
Die Zufallsgröße $X$ ist somit eine Funktion, die jedem Ergebnis des betrachteten Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet.
$X: 01101 \rightarrow 4$
Aufgabe 1
(a) Ergänze jeweils den Funktionswert (bzw. die zugeordnete Note).
$X: 10101 \rightarrow $
$X: 11101 \rightarrow $
$X: 00100 \rightarrow $
(b) Beschreibe die Zuordnungsvorschrift der Funktion (bzw. Zufallsgröße) $X$ ganz allgemein, z. B. so:
Die Funktion (bzw. Zufallsgröße) $X$ ordnet jedem Münzwurfergebnis eine Zahl zu. Diese Zahl wird erhalten, indem ...
Wahrscheinlichkeiten der Noten bestimmen
Wir setzen hier voraus, dass alle Münzwurfergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Ziel ist es jetzt, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Noten zu bestimmen. In der folgenden Tabelle findest du bereits einige Einträge:
| Ereignis: Note = ... | Münzwurf-Ergebnisse, die zum Ereignis gehören | Wahrscheinlichkeit des Ereignisses |
|---|---|---|
| $X = 1$ | $\{ \dots \}$ | |
| $X = 2$ | $\{ 10000, 01000, 00100, 00010, 00001 \}$ | $\displaystyle{\frac{5}{32}}$ |
| $X = 3$ | $\{ 11000, \dots \}$ | |
| $X = 4$ | $\{ \dots \}$ | |
| $X = 5$ | $\{ \dots \}$ | |
| $X = 6$ | $\{ \dots \}$ |
Aufgabe 2
(a) Erläutere, welche Ereignisse durch Schreibweisen wie z. B. $X = 2$ beschrieben werden.
(b) Erkläre die bereits ausgefüllte Zeile zum Ereignis $X = 2$. Erkläre dabei auch, wie die angegebene Wahrscheinlichkeit ermittelt wurde.
(c) Ergänze die fehlenden Einträge in der Tabelle.
(d) Trage die berechneten Noten-Wahrscheinlichkeiten in der folgenden der Wertetabelle ein. Die Wertetabelle liefert dann die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$.
| $k$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $P(X = k)$ | $\displaystyle{\frac{5}{32}}$ |
Aufgabe 3
(a) Nutze das Applet, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ zu überprüfen.
Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$
Anleitung für das Applet:
- Mit dem schwarzen Dreieck auf der $x$-Achse kannst du die aktuellen Werte der Zufallsgröße einstellen.
Zum Herunterladen: zg_verteilung.ggb
(b) Erläutere das Histogramm zur Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$.
