Übungen - Lineare (Un-) Abhängigkeit

Aufgabe 1: Vektorkonstellationen an einem Würfel

Im Applet zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge 4.

Zum Herunterladen: wuerfel.ggb

(a) Betrachte die folgenden Vektorkonstellationen und entscheide und begründe, ob diese Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind. Im Fall "linear abhängig" reicht es, eine passende Linearkombinationsdarstellung anzugeben. Im Fall "linear unabhängig" zeigt man am besten, dass keine Rundreise möglich ist.

1. $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$
2. $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AD}$
3. $\overrightarrow{NO}, \overrightarrow{OP}, \overrightarrow{PM}$
4. $\overrightarrow{AF}, \overrightarrow{BE}, \overrightarrow{GH}$
5. $\overrightarrow{EB}, \overrightarrow{EG}, \overrightarrow{EA}$
6. $\overrightarrow{MR}, \overrightarrow{MS}, \overrightarrow{MG}$

(b) Gib selbst weitere Beispiele für Vektorkonstellationen an, bie linear abhängig bzw. linear unabhängig sind.

Aufgabe 2: wahr oder falsch

Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils.

1. Wenn einer der drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ ein Nullvektor ist, dann sind die drei Vektoren linear abhängig.
2. Wenn zwei der drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ gleich sind, dann sind die drei Vektoren linear abhängig.
3. Wenn alle drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ verschieden sind, dann sind auch die drei Vektoren linear unabhängig.
4. Wenn die drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ linear unabhängig sind, dann sind auch die drei Vektoren $\vec{u}+\vec{v}, \vec{v}+\vec{w}, \vec{w}+\vec{u}$ linear unabhängig.