Ein rechnerisches Verfahren

Systematisch bei der Untersuchung linearer Abhängigkeit vorgehen

Wir untersuchen weiterhin folgende Vektorkonstellation auf lineare Abhängigkeit.

Zum Herunterladen: linearunabhaengig2.ggb

Ziel ist es zu überprüfen, ob es eine Rundreise mit den vorgegebenen Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ gibt.

• Schritt 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen.
• Schritt 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.
• Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen.
• Schritt 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Aufgabe 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen

Erläutere kurz, wie man zur folgenden Bedingung (als Vektorgleichung) gelangt.

$r\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ -2\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Aufgabe 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln

Erkläre, wie man die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem überführt.

$\begin{array}{lrcrcrcr}[1]& 4r& +& 2s& +& t& =& 0\\ [2]& 3r& -& s& -& 3t& =& 0\\ [3]& -2r& +& 2s& +& 4t& =& 0\end{array}$

Aufgabe 3: Das Gleichungssystem lösen

Das Lösen des linearen Gleichungssystems überlassen wir einem Computeralgebrasystem.

Zum Herunterladen: lgs_lineareabhaengigkeit1.ggb

Führe den Befehl in Zeile 4 mit der [return]-Taste aus. Als Ergebnis erhält man hier:

$\{\{r=\frac{1}{2}t,s=\frac{-3}{2}t,t=t\}\}$

Deute das Ergebnis. Setze hierzu für $t$ Werte ein, z.B. $t=1$ und $t=-1$.

Aufgabe 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten

Welchen Schluss kannst man aus dem Ergebnis aus Aufgabe 3 ziehen: Sind die drei Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ linear abhängig? Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet.

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