Ausblick - Indirekte Beschreibung
Indirekt beschreiben statt erzeugen
In den vorangehenden Kapiteln haben wir Schritt für Schritt entwickelt, wie man geometrische Gebilde mit Hilfe von Vektoren beschreiben kann. Die Beschreibungslogik basierte auf dem Ansatz, die Punkte der geometrischen Gebilde mit Hilfe von Linearkombinationen von Vektoren zu erzeugen.
Es geht aber auch anders. In den folgenden Kapiteln werden wir eine andere Beschreibungslogik entwickeln. Die Grundidee ist hier, die Punkte geometrischer Gebilde indirekt mit Hilfe von (Vektor-) Gleichungen zu beschreiben. In diesem Abschnitt wird dieser neue Denkansatz kurz vorgestellt, bevor er in den weiteren Kapiteln systematisch entwickelt wird.
Beispiel - Geradenpunkte direkt erzeugen
Als Beispiel betrachten wir die 2D-Gerade durch die Punkte $(-4|0)$ und $(0|2)$.
Beschreibungslogik: Alle Punkte (bzw. deren Ortsvektoren) lassen sich mit einer Linearkombination aus einem Stützvektor und einem Richtungsvektor erzeugen.
Zum Herunterladen: gerade2d3.ggb
Aufgabe 1
Probiere es selbst aus. Erzeuge mit den gegebenen Vektoren die Punkte $(-4|0)$ und $(0|2)$ sowie weitere Punkte der Geraden.
Beispiel - Geradenpunkte indirekt beschreiben
Als Beispiel betrachten wir wieder die 2D-Gerade durch die Punkte $(-4|0)$ und $(0|2)$.
Beschreibungslogik: Alle Punkte lassen sich als Lösung einer linearen Gleichung beschreiben.
Zum Herunterladen: gerade2d4.ggb
Aufgabe 2
(a) Zeige, dass die Gleichung $x_1 - 2x_2 = -4$ u.a. die folgenden Lösungen hat.
- $x_1 = -4; x_2 = 0$ bzw. $(x_1; x_2) = (-4; 0)$
- $x_1 = 0; x_2 = 2$ bzw. $(x_1; x_2) = (0; 2)$
(b) Ergänze zu weiteren Lösungen der Gleichung:
- $(x_1; x_2) = (...; 1)$
- $(x_1; x_2) = (...; 3)$
- $(x_1; x_2) = (...; 4)$
- $(x_1; x_2) = (...; -1)$
(c) Begründe: Man erhält alle Lösungen der Gleichung, indem man für $x_2$ eine Zahl $t \in \mathbb{R}$ vorgibt und dann $x_1$ mit $x_1 = -4 + 2t$ berechnet. Kurz:
- $(x_1; x_2) = (-4 + 2t; t)$ mit $ t \in \mathbb{R}$
(d) Begründe: Alle Lösungen liegen auf einer Geraden. Benutze die folgenden Umformugen beim Erklären.
$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 + 2t \\ t \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)$
Zusammenhänge herstellen
In Aufgabe 2(d) wird am konkreten Beispiel ein Zusammenhang zwischen den beiden Bescchreibungslogiken hergestellt. Noch unklar ist jedoch, ob das immer möglich ist und warum das so ist. Genau damit werden wir uns in den folgenden Kapiteln beschäftigen.
