Rechnerische Überprüfung

Lineare (Un-) Abhängigkeit rechnerisch prüfen

Betrachte den Fall, dass folgende Vektoren gegeben sind:

$\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$

Zum Herunterladen: linearunabhaengig2.ggb

Um zu überprüfen, ob die drei Vektoren linear (un)abhängig sind, gehen man systematisch vor.

• Schritt 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen.
• Schritt 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.
• Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen.
• Schritt 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten.

Schritt 1: Eine Bedingung für eine Rundreise in Form einer Vektorgleichung aufstellen

$r \cdot \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$.

Schritt 2: Die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem umwandeln.

$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 0.5r &-& s & & & = & 0 \\ [2] &\quad 2r &+& 2s &+& 2t & = & 0 \\ [3] &\quad && -s &+& 2t & = & 0 \\ \end{array}$

Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen

Durch geschicktes Umformen kann man direkt erschließen, dass das lineare Gleichungssystem die Lösung $r=0; s=0; t=0$ hat.

Schritt 4: Die Lösung des Gleichungssystems im Problemkontext deuten

Die vorgegebenen Vektoren sind infolgedessen linear unabhängig.