Zusammenfassung - Erzeugung linearer Gebilde
Beschreibung linearer Gebilde mit Vektoren
Die Darstellung linearer geometrischer Gebilde benutzt Vektoren in zwei Funktionen:
- einen Stützvektor, der zum geometrische Objekt führt
- erzeugende Vektoren, die Richtungen des geometrischen Objekts festlegen
Zum Herunterladen: linearegebilde1.ggb
Erzeugende Vektoren und die Dimension des geometrischen Gebildes
Die Anzahl der erzeugenden Vektoren eines linearen geometrischen Gebildes bestimmt die Dimension des Gebildes. Die Tabelle listet die Möglichkeiten im 3D-Raum auf.
| lineares geometrisches Gebilde | Dimension | Darstellung mit erzugenden Vektoren |
|---|---|---|
| Punkt | 0 | $\vec{x} = \vec{p}$ |
| Gerade | 1 | $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ |
| Ebene | 2 | $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ |
| Raum | 3 | $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$ |
Bedingungen an die erzeugenden Vektoren
Folgende Bedingungen müssen zusätzlich erfüllt sein, damit tatsächlich die in der Tabelle beschriebenen linearen Gebilde entstehen.
Gerade: Damit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ eine Gerade (im 3D-Raum) beschreibt, muss folgende Bedingung erfüllt sein: Der erzeugende Vektor $\vec{u}$ darf kein Nullvektor sein.
Ebene: Damit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ eine Ebene (im 3D-Raum) beschreibt, muss folgende Bedingung erfüllt sein: Keiner der erzeugenden Vektoren $\vec{u}, \vec{v}$ darf ein Vielfaches des anderen sein. Das umfasst dann auch den Fall, dass keiner der erzeugenden Vektoren ein Nullvektor sein darf.
Raum: Damit $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$ den gesamten 3D-Raum beschreibt, muss folgende Bedingung erfüllt sein: Keiner der erzeugenden Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ lässt sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen. Das umfasst dann auch den Fall, dass keiner der erzeugenden Vektoren ein Nullvektor sein darf.
Im Kapitel Lineare Abhängigkeit von Vektoren werden wir alle diese Bedingungen einheitlich mit dem Begriff "lineare unabhängig" beschreiben.
