Dimension und erzeugende Vektoren
Die Bausteine linearer Gebilde untersuchen
Die Darstellung geometrischer Objekte benutzt Vektoren in zwei Funktionen:
- einen Stützvektor, der zum geometrische Objekt führt
- erzeugende Vektoren, die Richtungen des geometrischen Objekts festlegen
Zum Herunterladen: linearegebilde1.ggb
Aufgabe 1: Darstellung einer Geraden
Diesen Fall kennst du bereits. Eine Gerade lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und einem erzeugenden Vektor $\vec{u}$ (dem Richtungsvektor) beschreiben:
$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ (mit $r \in \mathbb{R}$)
Verdeutliche diese Darstellung von Geraden im Applet. Blende hierzu jeweils einen erzeugenden Vektor ein (z.B. $\vec{u}$) und variiere den entsprechenden Parameter (im Fall von $\vec{u}$ ist das der Parameter $r$). Beachte, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.
Demonstriere, wie man jeden Punkt der (hier eingeschränkten) Geraden durch PQ (bzw. PS bzw. PA) erhält.
Aufgabe 2: Darstellung einer Ebene
Auch diesen Fall kennst du bereits. Eine Ebene lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und zwei erzeugenden Vektor $\vec{u}$ und $\vec{v}$ (den Spannvektoren) beschreiben:
$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
Verdeutliche diese Darstellung von Ebenen im Applet. Blende hierzu zwei erzeugende Vektoren ein (z.B. $\vec{u}$ und $\vec{v}$) und variiere die entsprechenden Parameter. Beachte auch hier, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.
Demonstriere, wie man jeden Punkt der (hier eingeschränkten) Ebene durch PQRS (bzw. PQAB bzw. PSDA) erhält.
Aufgabe 3: Darstellung eines Raumes
Dieser Fall ist neu. Welche Punktmenge lässt sich mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und drei erzeugenden Vektor $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ beschreiben?
$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$ (mit $r, s, t \in \mathbb{R}$)
Blende hierzu alle drei erzeugenden Vektor ($\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$) ein und variiere die jeweiligen Parameter. Beachte auch hier, dass die Schieberegler für die Parameter so eingestellt sind, dass nur Werte zwischen 0 und 1 möglich sind.
Demonstriere, dass man jeden Punkt des Körpers erhält, der von den drei erzeugenden Vektoren aufgespannt wird.
Begründe, dass man jeden Punkt des 3D-Raumes erhält, wenn für die Parameter beliebige reelle Zahlen zugelassen sind.
Aufgabe 4: Darstellung eines Punktes
Betrachte abschließend noch den Sonderfall, dass nur ein Stützvektor $\vec{p}$ gegeben ist - aber keine erzeugenden Vektoren.
$\vec{x} = \vec{p}$
Blende hierzu alle drei erzeugenden Vektor ($\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$) aus. Begründe, dass nur ein einzelner Punkt so beschrieben wird.
Aufgabe 5: Dimensionen
In der folgenden Tabelle sind alle Fälle noch einmal eingetragen. Wie hängt die Anzahl der erzeugenden Vektoren von der Dimension des linearen geometrischen Gebildes ab?
lineares geometrisches Gebilde | Dimension | Linearkombinationen |
---|---|---|
Punkt | 0 | $\vec{x} = \vec{p}$ |
Gerade | 1 | $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ |
Ebene | 2 | $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ |
Raum | 3 | $\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w}$ |