Die Grundidee

Ein räumliches Gebilde aufspannen

Wir betrachten eine Situation, in der drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ ein räumliches Gebilde - einen Spat - aufspannen sollen.

Zum Herunterladen: spat1.ggb

Bei den im Applet vorgegebenen Vektoren $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$ erzeugen diese Vektoren tatsächlich einen Spat.

Anders verhält es sich, wenn die drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ so vorgegeben werden.

Zum Herunterladen: spat2.ggb

Die Vektoren $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 0.5 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$, $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 1 \end{array}\right)$ erzeugen hier kein räumliches Gebilde. Das liegt daran, dass sie in folgendem Sinn voneinander abhängig sind:

Im vorliegenden Fall lässt sich $\vec{w}$ als Linearkombination $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{u}$ darstellen. Der Vektor $\vec{w}$ liefert infolgedessen keine zusätzliche Raumrichtung, wenn bereits zwei Richtungen durch $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gegeben sind.

Eine solche Situation tritt immer dann ein, wenn einer der drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sich als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen lässt.