Herleitung der Potenzregel
Die Potenzregel begründen
In den vorangehenden Abschnitten hast du die Potenzregel kennengelernt.
Potenzregel:
Wenn $f(x) = x^n$, dann gilt $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ (für alle natürlichen Zahlen $n$).
Hier geht es darum, diese Regel zu begründen. Das Applet hilft dir, die wesentlichen Ideen herauszufinden.
Zum Herunterladen: herleitungpotenzregel.ggb
Aufgabe 1
Wir betrachten als typischen Fall die Potenzfunktion $f$ mit $f(x) = x^5$. Kläre folgende Fragen.
- Betrachte den vereinfachten Term zu $f(x+h)$. Welche Teilterme enthalten ein $h$ - mit welchen Exponenten? Welcher Teilterm enthält kein $h$?
- Wie entsteht der Teilterm $5hx^4$, wenn man $(x+h)^5 = (x+h)(x+h)(x+h)(x+h)(x+h)$ ausmultipliziert?
- Betrachte den vereinfachten Term zu $f(x+h)-f(x)$. Welcher Teilterm fällt weg? Welche verbleibenden Teilterme enthalten ein $h$ - mit welchen Exponenten?
- Betrachte den vereinfachten Term zu $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Welche Teilterme enthalten ein $h$? Welcher Teilterm enthält kein $h$?
- Welche Teilterme liefern bei der Grenzwertbildung $h \rightarrow 0$ den Wert $0$ (und fallen somit beim Ergebnis weg)?.
Aufgabe 2
Vergewissere dich, dass man für andere $n$-Werte analog schließen kann.
