Zusammenfassung - Herleitung einer Ableitungsfunktion
Herleitung einer Formel für $f'(x)$
Das Applet zeigt bereits die Ergebnisse für die präsentierte Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
Zum Herunterladen: ableitung4.ggb
Für diese Ausgangsfunktion erhält man $m(x, x+h) = 2x+h$ sowie $f'(x) = 2x$. Im Folgenden zeigen wir, wie man diese Ergebnisse herleitet.
Beispiel
geg:$f(x) = x^2$
ges:$f'(x) = \dots$
Schritt 1: den Ausdruck $m(x, x+h)$ vereinfachen
$\begin{array}{lcl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{(x^2+2xh+h^2) - x^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{2xh+h^2}{h}} \\ & = & \displaystyle{\frac{h\cdot(2x+h)}{h}} \\ & = & \displaystyle{2x+h} \end{array}$
Schritt 2: den Grenzprozezz $h \rightarrow 0$ durchführen
$\begin{array}{ccl} m(x, x+h) & = & 2x+h \\ \downarrow & h \rightarrow 0 & \\ f'(x) & = & 2x \end{array}$
Ergebnis:
Für die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ erhält man $f'(x) = 2x$.
Deutung von $f'(x)$ als Ableitungsfunktion
Die Formel $f'(x) = 2x$ (für die Ausgangsfunktion $f(x) = x^2$) beschreibt eine Zuordnung, die jedem (zulässigen) $x$-Wert den entsprechenden Ableitungswert zuordnet. Die folgende Wertetabelle verdeutlich diese Zuordnung exemplarisch.
Wertetabelle für $f'(x)$
Ausgangsfunktion: $f(x) = x^2$
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $f'(x) = 2x$ | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
$f'(x)$ ist demnach eine Funktion, die jedem $x$-Wert den entsprechenden Ableitungswert zuordnet.
Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion $f'$ zu einer Ausgangsfunktion $f$ ordnet jedem $x$-Wert die Ableitung von $f$ an dieser Stelle zu - sofern diese Ableitung existiert.
Beispiel
Für die Ableitungsfunktion $f'$ zur Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = x^2$ gilt $f'(x) = 2x$.
Der Begriff Ableiten
wird benutzt, um den Vorgang zu beschreiben, die Ableitungsfunktion zu einer Ausgangsfunktion zu ermitteln.
Statt „Ableiten“ benutzt man synonym auch den Begriff „Differenzieren“.
