Überprüfung - Herleitung einer Ableitungsfunktion
Aufgabe 1
Betrachte die Ausgangsfunktion $f$ mit $f(x) = 0.5x^2$.
Zum Herunterladen: ableitung2b.ggb
(a) Welche dieser Formel für $m(x, x+h)$ beschreibt für die gegebene Ausgangsfunktion die mittlere Änderungsrate korrekt? Begründe.
- m(x, x+h) = 2x+h
- m(x, x+h) = x+h
- m(x, x+h) = x+0.5h
Kontrolle
$\begin{array}{lcl}
m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} \\
& = & \displaystyle{\frac{0.5(x+h)^2 - 0.5x^2}{h}} \\
& = & \displaystyle{\frac{0.5(x^2+2xh+h^2) - 0.5x^2}{h}} \\
& = & \displaystyle{\frac{xh+0.5h^2}{h}} \\
& = & \displaystyle{\frac{h\cdot(x+0.5h)}{h}} \\
& = & \displaystyle{x+0.5h}
\end{array}$
Diese Formel kann man auch experimentell mit Hilfe des Applets herausfinden.
(b) Welche dieser Formel für $f'(x)$ beschreibt für die gegebene Ausgangsfunktion die Ableitungsfunktion korrekt? Begründe.
- f'(x) = 2x
- f'(x) = x
- f'(x) = 0.5x
Kontrolle
$\begin{array}{ccl}
m(x, x+h) & = & x+0.5h \\
\downarrow & h \rightarrow 0 & \\
f'(x) & = & x
\end{array}$
Diese Formel kann man auch experimentell mit Hilfe des Applets herausfinden.
(c) Welche Beschreibung ist korrekt? Begründe.
Die Ableitungsfunktion $f'$ zu einer Ausgangsfunktion $f$ ordnet jedem $x$-Wert ...
- ... die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zu.
- ... die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P(x|f(x))$ zu.
- ... den Wert $2x$ zu.
Kontrolle
- ... die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ zu. (wahr)
- ... die Steigung von Graph $f$ im Punkt $P(x|f(x))$ zu. (wahr)
- ... den Wert $2x$ zu. (falsch: $f'(x) = 2x$ erhält man z.B. für $f(x) = x^2$, aber nicht für $f(x) = 0.5x^2$.)
