Erarbeitung - Potenzregel
Potenzfunktionen ableiten
Ableitungsregeln dienen dazu, die Ableitungsfunktionen zu vorgegebenen Ausgangsfunktionen zu bestimmen. Als Ausgangsfunktionen betrachten wir hier die Potenzfunktionen. Die Tabelle zeigt einige Beispiele, wie man die Ableitungsfunktion zu einer Potenzfunktion erhält.
| Potenzfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^0 = 1$ | $f'(x) = 0x^{-1} = 0$ |
| $f(x) = x^1 = x$ | $f'(x) = 1x^0 = 1$ |
| $f(x) = x^2$ | $f'(x) = 2x^1 = 2x$ |
| $f(x) = x^3$ | $f'(x) = 3x^2$ |
| $f(x) = x^4$ | $f'(x) = 4x^3$ |
| $f(x) = x^5$ | $f'(x) = 5x^4$ |
| ... | ... |
Aufgabe 1
Formuliere eine allgemeine Regel.
Potenzregel
Wenn $f(x) = x^n$ (mit einer natürlichen Zahl $n$), dann gilt ...
Negative und rationale Exponenten
Mit der Potenzregel können wir bereits viele bekannte Funktionen ableiten. Aber wie sieht es mit $f(x) = \sqrt x$ oder $f(x) = \frac{1}{x}$ aus? Hier helfen unsere Kenntnisse zu Potenzen aus vorherigen Klassenstufen; sie werden in diesem Youtube-Video wiederholt.
Aufgabe 2: Negative Exponenten
(a) Funktionen der Form $f(x) = \frac{1}{x}$ lassen sich zu Potenzen umschreiben: $\frac{1}{x} = x^{-1}$. Führe die Tabelle fort:
| Funktion mit $x^n$ im Nenner | Schreibweise als Potenzfunktion |
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $f(x) = x^{-1} $ |
| $f(x) = \frac{1}{x^2}$ | $f(x) = ...$ |
| $f(x) = \frac{1}{x^3}$ | $f(x) = ...$ |
| $f(x) = \frac{1}{x^4}$ | $f(x) = ... $ |
| $f(x) = \frac{1}{x^n}$ | $f(x) = ... $ |
(b) Tatsächlich gilt die Potenzregel auch für negative Zahlen: Für $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$ gilt entsprechend $f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$. Erkläre diese Rechnung und bestimme auf gleiche Weise auch die Ableitung der anderen Funktionen in der Tabelle aus (a).
Aufgabe 3: Rationale Exponenten
(a) Auch Wurzelfunktionen lassen sich zu Potenzen umschreiben: $\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$; $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ Führe die Tabelle fort:
| Wurzelfunktion | Schreibweise als Potenzfunktion |
| $f(x) = \sqrt{x}$ | $f(x) = x^{\frac{1}{2}} $ |
| $f(x) = \sqrt[3]{x}$ | $f(x) = ...$ |
| $f(x) = \sqrt[4]{x}$ | $f(x) = ...$ |
| $f(x) = ...$ | $f(x) = x^{\frac{2}{3}} $ |
| $f(x) = \sqrt[4]{x^5}$ | $f(x) = ... $ |
(b) Tatsächlich gilt die Potenzregel auch für rationale Zahlen: Für $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ gilt entsprechend $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$. Erkläre diese Rechnung und bestimme auf gleiche Weise auch die Ableitung der anderen Funktionen in der Tabelle aus (a).
Aufgabe 4
Formuliere eine allgemeine Regel.
Potenzregel
Wenn $f(x) = x^r$ (mit einer reellen Zahl $r$), dann gilt ...
