Zusammenfassung - Ableitungsregeln
Die Grundidee
Die Ableitungsfunktion zu einer Ausgangsfunktion kann man mit Hilfe der Definition der Ableitung bestimmen. Hier noch einmal eine Kurzübersicht zu diesem Prozess für die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$.
$\begin{array}{lcl} m(x, x+h) & = & \displaystyle{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}} = 2x + h\\ \qquad\quad \downarrow h \rightarrow 0 & &\\ \qquad f'(x_) & = & 2x \end{array}$
Mit Ableitungsregeln geht das viel schneller. Man muss nur die für die gegebene Funktion passenden Regeln kennen.
$\begin{array}{cl} f(x) = x^2 & \text{Ausgangsfunktion} \\ \downarrow & \text{Ableitungsregeln} \\ f'(x) = 2x & \text{Ableitungsfunktion} \end{array}$
Die Potenzregel
Die Potenzregel beschreibt, wie man die Ableitungsfunktion einer Potenzfunktion direkt bestimmen kann.
Potenzregel
Wenn $f(x) = x^n$, dann gilt $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ (für alle natürlichen Zahlen $n$).
Wenn $f(x) = x^r$, dann gilt $f'(x) = r \cdot x^{r-1}$ (für alle reellen Zahlen $r$).
Beispiele
| Potenzfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^0 = 1$ | $f'(x) = 0x^{-1} = 0$ |
| $f(x) = x^1 = x$ | $f'(x) = 1x^0 = 1$ |
| $f(x) = x^2$ | $f'(x) = 2x^1 = 2x$ |
| $f(x) = x^3$ | $f'(x) = 3x^2$ |
| $f(x) = x^4$ | $f'(x) = 4x^3$ |
| ... | ... |
| $f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x}$ | $f'(x) = (-1)x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ |
| ... | ... |
| $f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$ | $f'(x) = 1/2\cdot x^{-1/2} = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$ |
Video - Potenzregel für natürliche Exponenten
In diesem Video wird die Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten hergeleitet.
Video - Erweiterung der Potenzregel
In diesem Video wird die Potenzregel erweitert und exemplarisch vorgeführt, wie man diese zur Ableitung von Funktionen mit negativem Exponenten und von Wurzelfunktionen verwenden kann.
Die Summenregel
Die Summenregel beschreibt, wie man Funktionen ableitet, die als Summe von zwei Funktionen dargestellt werden können.
Summenregel
Wenn $f(x) = u(x) + v(x)$, dann gilt $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
Beispiele
| Ausgangsfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^4 + x^2$ | $f'(x) = 4x^3 + 2x$ |
| $f(x) = x^6 + x^5$ | $f'(x) = 6x^5 + 5x^4$ |
| $f(x) = x^2 + 1$ | $f'(x) = 2x + 0 = 2x$ |
| $f(x) = x - 3 = x + (-3)$ | $f'(x) = 1 - 0 = 1$ |
Video - Die Summenregel
Die Faktorregel
Die Faktorregel beschreibt, wie man Funktionen ableitet, die als Vielfaches einer anderen Funktion dargestellt werden können.
Faktorregel
Wenn $f(x) = c \cdot u(x)$, dann gilt $f'(x) = c \cdot u'(x)$.
Beispiele
| Ausgangsfunktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = 2\cdot x^4$ | $f'(x) = 2\cdot 4 \cdot x^3 = 8x^3$ |
| $f(x) = 0.5 x^3$ | $f'(x) = 1.5 x^2$ |
| $f(x) = -2x^6$ | $f'(x) = -12x^5$ |
| $f(x) = -x^5$ | $f'(x) = -5x^4$ |
Video - Die Faktorregel
Ableitung ganzrationaler Funktionen
Die bisher vorgestellten Regeln kann man beliebig kombinieren. Mit ihnen lassen sich insbesondere die ganzrationalen Funktionen ableiten.
Ganzrationale Funktion
Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion, die man als Summe aus mit Vorfaktoren versehenen Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten darstellen kann.
Den höchsten Exponent der vorkommenden Potenzfunktionen einer ganzrationalen Funktionen nennt man auch Grad der ganzrationalen Funktion.
Beispiele
| ganzrationale Funktion | zugehörige Ableitungsfunktion |
| $f(x) = 2 \cdot x^4 + (-1) \cdot x^3 + 2 \cdot x^0 = 2x^4 - x^3 + 2$ | $f'(x) = 8x^3 - 3x^2$ |
| $f(x) = 0.5 x^3 - x$ | $f'(x) = 1.5 x^2 - 1$ |
| $f(x) = -2x^6 + 3x^4 + x^2$ | $f'(x) = -12x^5 + 12x^3 + 2x$ |
| $f(x) = -x^5 - x^4 - 1$ | $f'(x) = -5x^4 - 4x^3$ |
Es gilt folgender Zusammenhang.
Ableitung ganzrationaler Funktionen
Wenn man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ ableitet, erhält man eine ganzrationale Funktion vom Grad $n-1$.
