Einstieg
Die Ausgangssituation klären
Das Vorgehen bei der Bestimmung von Ableitungswerten war bisher experimentell. Wir haben die mittlere Änderungsrate für immer kleinere Schrittweiten bestimmt. Durch eine genaue Beobachtung der Entwicklung dieser mittleren Änderungsraten haben wir versucht, den resultierenden Grenzwert abzuschätzen. Zur Verdeutlichung dieses Vorgehen betrachten wir das folgende Applet.
Anleitung für das Applet
- Im oberen Fenster kann man die betrachtete Funktion durch Eingabe des Funktionsterms festlegen.
- Den Punkt $P$ kann man auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen. Alternativ kann man die $x$-Koordinate im entsprechenden Eingabefeld festlegen.
- Die Schrittweite $h$ kann man mit dem Schieberegler einstellen. Mit dieser Einstellung wird dann auch die Position von Punkt $Q$ auf Graph $f$ festgelegt.
- Die blau dargestellte Strecke dient hier zur Verdeutlichung der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$.
Zum Herunterladen: ableitung2.ggb
Beachte:
Bisher haben wir die Stelle, an der die Ableitung ermittelt werden soll, immer mit $x_0$ bezeichnet. Ab jetzt werden wir für die betrachtete Stelle immer (so wie im Applet oben) die Bezeichnung $x$ verwenden. Mit diesem Bezeichnungswechsel ist ein Wechsel der Sichtweise verbunden. Statt auf einzelne ausgewählte Stellen wird der Fokus ab jetzt auf die Gesamtheit aller Stellen gerichtet. Es ist günstig, diese beliebigen Stellen mit $x$ zu bezeichnen.Aufgabe 1
Erstelle eine Wertetabelle mit experimentell ermittelten Ableitungswerten.
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| $f'(x)$ |
Das Ziel festlegen
Zielsetzung
Wie kann man die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f$ an der Stelle $x$ rechnerisch bestimmen?
Ziel der folgenden Untersuchungen ist es, Ableitungswerte mathematisch herzuleiten. Hierdurch gelangen wir auf eine andere Erkenntnisstufe. Während das experimentelle Verfahren nur vermutete Ableitungswerte liefert, wird das neue rechnerische Verfahren nachgewiesene Ableitungswerte produzieren.
